Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение непрерывности функции

Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

Определение 3.1 Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть функция определена на некотором полуинтервале , для которого -- левый конец. Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть, наконец, функция определена на некотором полуинтервале , для которого -- правый конец. Функция называется непрерывной слева в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

Предложение 3.1 Функция тогда и только тогда непрерывна в точке , когда она непрерывна в точке справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

1) функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки;

2) существует предел значений функции слева: ;

3) существует предел значений функции справа: ;

4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке : .

Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с

Точка , в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции ; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

Пример 3.1 Пусть и . Тогда и . Эти значения совпадают, значит, функция непрерывна в точке .

(Функция -- элементарная функция; -- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить любой элементарной функцией, а -- любой внутренней точкой области , и вывод остался бы тем же.)

Пример 3.2 Рассмотрим функцию и точку . При функция задаётся формулой , при этом имеем (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при : . Итак, , что означает непрервыность функции при .

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

Предложение 3.2 Пусть -- база непроколотых окрестностей точки , окончаниями которой служат интервалы , ; -- база непроколотых левых окрестностей точки , окончаниями которой служат полуинтервалы , ; -- база непроколотых правых окрестностей точки , окончаниями которой служат полуинтервалы , . Тогда непрерывность функции в точке эквивалентна тому, что существует предел ; непрерывность слева в точке -- тому, что существует предел ; непрерывность справа в точке -- тому, что существует предел .

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

- функция, представленная как композиция нескольких функций. Если множество значений Y_i функции f_i содержится во множестве определения Х _i+1 функции f_i+1, т. е.

то функция определяемая равенством

наз. сложной функцией или (п -1)-кратной композицией (суперпозицией) функций f₁, f₂,..., f_n. Напр., всякая рациональная функция любого числа переменных является композицией четырех арифметич. действий, т. е. композицией функций х+у, x-у, ху, х/у.

С. ф. сохраняет многие свойства функций, композицией к-рых она является. Так, композиция непрерывных функций непрерывна. Это означает, что если функция непрерывна в точке , а функция f₂: Y Z непрерывна в точке , то С. ф. f₂ о/ f₁ также непрерывна в точке х ₀ (здесь X, Y и Zявляются, напр., топологии, пространствами). Подобным образом, композиция праз (непрерывно) дифференцируемых функций представляет собой также праз (непрерывно) дифференцируемую функцию, n=1, 2,... Композиция возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая (соответственно убывающая) функция. При композиции функций иногда меняются количественные характеристики свойств функций: композиция функций f₁ и f₂, удовлетворяющих условию Гёльдера нек-рых степеней, есть функция, удовлетворяющая условию Гёльдера степени, равной произведению степеней условий Гёльдера, к-рым удовлетворяют функции f₁ и f₂. Нек-рые характеристики функций не сохраняются при композиции. Так, композиция функций, интегрируемых по Риману или по Лебегу, не является, вообще говоря, функцией, интегрируемой по Риману или, соответственно, по Лебегу; композиция абсолютно непрерывных функций может оказаться не абсолютно непрерывной функцией. Вместе с тем, согласно результатам Н. К. Бари и Д. Е. Меньшова [1], композиция трех абсолютно непрерывных на отрезке функций не приводит к новому классу функций по сравнению с композицией двух абсолютно непрерывных функций. Н. К. Бари [2] доказала, что любая непрерывная на отрезке функция может быть представлена в виде суммы трех композиций абсолютно непрерывных функций, и есть такие непрерывные функции, к-рые но могут быть представлены в виде суммы двух таких композиций. Вместе с тем, всякая непрерывная на отрезке функция является суммой двух композиций функций с ограниченным изменением; однако n-кратные композиции функций с ограниченным изменением для каждого п=1, 2,... приводят к существенно новым классам функций и существуют однократные композиции функций с ограниченным изменением, не являющиеся непрерывными функциями [3].

Понятие композиции функций представляет собой наиболее широкое понимание термина "представление функции формулой". Задача о представлении функций в виде композиций возникла в связи с отысканием формул для решений алгебраич. уравнений. Всякий кореньуравнения степени не выше четвертой может быть представлен формулой, выражающей его через коэффициенты уравнения и представляющей собой композицию четырех арифметич. действий и радикалов. Всякое уравнение степени может быть с помощью подстановки (наз. преобразованием Чирнгаузена) приведено к виду

Таким образом, каждый корень уравнения степени представляет собой функцию п- 4 параметров. Задача состоит в выяснении: можно ли эти функции представить в виде композиции алгебраич. функций меньшего числа неременных. Одна из 23 проблем Д. Гильберта (D. Hilbert), поставленных им на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900, относилась к этой задаче. Именно, 13-я проблема состояла в следующем (см. [4]): представляется ли корень f уравнения

(*)

через коэффициенты х, у и z этого уравнения посредством композиций каких-либо непрерывных функций двух переменных (следует отметить, что всякая функция конечного числа переменных является композицией разрывных функций двух переменных). Д. Гильбертом была показана невозможность получения всех аналитич. ций трех переменных в виде композиций аналитич. ций двух переменных. Он же для уравнения 9-й степени доказал [5], что решение уравнения 9-й степени можно представить в виде композиции алгебраич. функций четырех переменных (вместо пяти, как это сразу следует из применения преобразования Чирнгаузена). Эти исследования были продолжены многими математиками (см. [6] - [19]).

А. Г. Витушкин в 1954 доказал [10], что если натуральные числа m, п, m₁ и n₁ удовлетворяют неравенству , то можно указать праз дифференцируемую функцию тпеременных, непредставимую в виде композиции n₁ раз дифференцируемых функций от m₁ переменных. В частности, при всяком пможно указать функцию ппеременных наперед заданной гладкости, непредставимую композицией функций меньшего числа переменных той же гладкости. В этом смысле среди гладких функций любого числа переменных существуют функции, существенно зависящие от всех своих аргументов.

В 1956 А. Н. Колмогоров показал [11], что всякая определенная на n-мерном () кубе непрерывная функция является композицией непрерывных функций трех переменных. Затем В. И. Арнольд уменьшил число переменных с трех до двух. Именно, он доказал [12], что любую непрерывную на кубе функцию трех переменных можно представить в виде композиции непрерывных функций двух переменных (и даже, более точно, в виде суммы 9 функций, каждая из к-рых является однократной композицией непрерывных функций двух переменных). Тем самым было показано, что каждая непрерывная на n-мерном () кубе функция представит в виде композиции непрерывных функций двух переменных. Это явилось последним словом по опровержению гипотезы Гильберта о невозможности представления корней уравнения (*) в виде композиций непрерывных функций двух неременных. Работы А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда дали, в частности, положительный ответ на вопрос о представимости корней алгебраич. уравнений любой степени в виде композиции непрерывных функций не более чем двух переменных. Для композиций аналитич. и алгебраич. функций аналогичный вопрос не решен. До сих пор (1983) неизвестно, являются ли корни уравнения (*) композицией аналитич. ций или нет.

Этот цикл работ завершает следующая теорема Колмогорова [13]: любая непрерывная функция гс переменных может быть получена с помощью композиций непрерывных функций одного переменного и единственной функции двух неременных g(x, y) = x+y;именно, он доказал, что любая функция f, непрерывная на n-мерном кубе, может быть представлена в виде

,

где функции h_i и j _ij - непрерывны, а функции j _ij, кроме того, стандартны, т. е. не зависят от выбора функции f.

А. Г. Витушкин показал [14], что для любых конечных наборов непрерывных функций p_k и непрерывно дифференцируемых функций q_k, зависящих от ппеременных, k=1, 2,..., т, n =1, 2,..., существуют даже аналитич. ции гс переменных, не представимые композицией вида

где f_k - произвольные непрерывные функции одного переменного.

5. Свойства функций, непрерывных на отрезке След.»
Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897) - немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке выполняется условие - . Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке , то образуется некоторая окрестность точки . Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения и , что , причем . Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например - ). Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. Свойство 3: (Вторая теорема Больцано - Коши). Функция, непрерывная на отрезке , принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. Свойство 4: Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) - Коши). Если функция - непрерывная на отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где . Т.е. если , то . Определение. Функция называется равномерно непрерывной на отрезке , если для любого существует такое, что для любых точек и таких, что верно неравенство . Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое , не зависящее от , а при “обычной” непрерывности зависит от и . Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918) - немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.) Свойство 7: Если функция определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция тоже однозначна, монотонна и непрерывна. Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть. в точке функция непрерывна в точке точка разрыва 1 - го рода