Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Производная второго порядка функции, заданной параметрически

Если функции j (t) и ψ (t) дважды дифференцируемы в некоторой точке t ₀ Î (α, β) и j '(t ₀) ≠ 0, то

¾¾¾¾ * * * ¾¾¾¾

Возрастание и убывание функции

функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [ a, b ], если для любой пары точек х и х', а ≤ х < х' ≤ b выполняется неравенство f (x) ≤ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x'). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х ² (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x)↑, а убывающие f (x)↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [ а, b ], необходимо и достаточно, чтобы её производная f '(x) была неотрицательной на [ а, b ].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x ₀, если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x ₀, что для любой точки х из (α, β), х> x ₀, выполняется неравенство f (x ₀) ≤ f (x), и для любой точки х из (α, β), х< x ₀, выполняется неравенство f (x) ≤ f (x ₀). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x ₀. Если f '(x ₀) > 0, то функция f (x) строго возрастает в точке x ₀. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 1, М., 1966.

С. Б. Стечкин.

Возрастание и убывание функции

функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [ a, b ], если для любой пары точек х и х', а ≤ х < х' ≤ b выполняется неравенство f (x) ≤ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x'). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х ² (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x)↑, а убывающие f (x)↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [ а, b ], необходимо и достаточно, чтобы её производная f '(x) была неотрицательной на [ а, b ].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x ₀, если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x ₀, что для любой точки х из (α, β), х> x ₀, выполняется неравенство f (x ₀) ≤ f (x), и для любой точки х из (α, β), х< x ₀, выполняется неравенство f (x) ≤ f (x ₀). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x ₀. Если f '(x ₀) > 0, то функция f (x) строго возрастает в точке x ₀. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 1, М., 1966.

С. Б. Стечкин.