Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дисперсия

D[x]=

Найдем для x~N(m, ) P{a<x<b}

P{a<x<b}=

В частном случае P{/X-m/<l}=2Ф(l/ )-1

18. Случайный вектор. Функции совместного распределения вероятностей, её свойства.

19. Дискретный случайный вектор. Связь закона распределения двумерного случайного вектора с законами распределения его компонент. Независимость случайных величин. Условные законы распределения.

21. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства.

22. Начальные и центральные моменты

Опр. Начальным моментом k-ого порядка X называется число

α k [X]=M[X ]

1) α 1 [X]=M[X]

2) X – СВДТ => α k [X]=∑ X p

Опр. Центр. моментом k-ого порядка X называется число

μ k [X]=M[(X-M[X]) ]

1) Сл.величина X-M[X]=X (с точкой сверху) наз-ся центрир. случ. величиной.

2) μ 1 [X]=0

Связь между α k [X] и μ k [X].

μ k =M[(X-M[X]) ]= M[ X (-1) (M[X]) ]=

= M[X ](M[X])

=> μ k [X] = α j [X] * α [X]

23. Дисперсия случайной величины

Опр. Дисперсией случ.величины X назыв. ее второй центральный момент μ 2 [X]:

D[X] = M[(X-M[X]) ]

Для X – СВДТ: D[X] = p i

D[X] характеризует степень рассеяния, разбросанности значений X вокруг M[X].

Опр. Среднеквадратическим отклонением X назыв. число T[X] =

Свойства:

1. D[X] больше, либо равно 0

2. D[C] = 0, C=const

3. D[X] = M[X ]-M [X]

4.D[cX] = c D[X]

5.Если X и Y независимы, то D[X+Y] = D[X]+D[Y]

D[X+Y] = M[(X+Y-M[X+Y]) ] = M[(X-M[X]+Y-M[Y]) ] =

= M[(X-M[X]) ]+M[(Y-M[Y]) ] + 2M[(X-M[X])]*M[(Y-M[Y])] =

= D[X] + D[Y] | M1=0 | | M1=0 |

24. Мат.ожидание и дисперсия СВНТ

Опр. Пусть X – СВНТ с функцией плотности f x (x), причем f x (x)dx сходится абсолютно, тогда мат. Ожиданием X называется число M[X] = f x (x)dx

Опр. Пусть X – СВНТ с функцией плотности f x (x), причем f x (x)dx сходится абсолютно, тогда дисперсией X называется число: D[X] = f x (x)dx

Замечание.

1)M[X] для X – СВНТ обладает теми же свойствами, что и для X-СВДТ

2)Опр-е нач. и центр. моментов сохр. на случай непр. случ. величины. Их свойства зависят от свойств M[X].

П1. X~N(m,τ);M[X] -?

M[X] = dx=…= m = M[X]

П2. X~N(m,τ);D[X] -?

D[X] = = dx=… =

25. Функция случайной величины.

26. Характеристики распределения случайной величины: мода, медиана, квантили, коэффициенты асимметрии и эксцесса.

27. Характеристическая функция случайной величины, её свойства.

28. Характеристические функции биноминального, пуассоновского и нормального распределений вероятности.

Биномиальное распределение в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в Теории массового обслуживания.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, — распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний

№29 Композиционая устойчивость

Опр.: Пусть X1 и Х2 распределены по одному и тому же закону (возможно с разными параметрами) и независимы. Если при этом Х1+Х2 распределена по тому же закону, то говорят, что данный закон композиционно устойчив.

П1: , и Х1,Х2 независимы

• , . Т.к. Х1 и Х2 независимы: => •

Т.е. при фиксированном значении p з-н B(n,p) композиционно устойчив.

П2: ,

• , . Т.к. Х1 и Х2 независимы: => •

П3: , и Х1,Х2 независимы

• , => •

№30 Ковариация двух случайных величин:

Опр: Ковариацией Х и Y называется число (если ):

сov[X,Y] = M[(X-M[X])(Y-M[Y])]= M[Ẋ,Ẏ].

Св-ва:

1) сov[X,Y] = сov[Y,X]

2) сov[X,X] = D[X]

3) сov[X,Y1+Y2] = сov[X,Y1] + сov[X,Y2]

4) сov[C*X,Y]= C* сov[X,Y]

5) D[X+Y]=D[X] + D[Y] + 2 сov[X,Y]

6) |сov[X,Y]| ≤

• 0≤ D[tX+Y] = t^2*D[X] + D[Y] + 2t*cov[X,Y]

= 4 (сov[X,Y])^2 – 4* D[X]*D[Y] => |сov[X,Y]| ≤ •

№31 Коэффициент корреляциии.

Опр: Коэффициентом корреляции называется число:

Св-ва:

1)

2) Если X и Y независимы => (обратное неверно)

•cov[X,Y]=M[XY] – M[X]M[Y] = |тк Х и Y независимы|= M[X]M[Y] – M[X]M[Y] =0 => •

3) Если Y=aX+b, то

• Пусть M[X] = m, D[X]= тогда M[Y] = am+b, D[Y]=

cov[X,Y] = M[(X-m)(ax+b – (am+b))] = a* M[(X-m)^2] =

•

Замеч: Если X и Y независимы, то . Если Х и Y лин. зависимы . Поэтому используется в качестве меры линейной зависимости Х и Y. Если – зависимость слабая. Если - зависимость сильная. Если - то при росте одной случайной величины, другая в среднем растет.

№32 Распределения

Опр: Пусть Xi – независимые случайные величины, . Тогда случайная величина имеет распределение («хи-квадрат») с n степенями свободы -

Св-ва:

1) M[Y]=n; D[Y]=2n

2) Рисуем графики (оси: f (x) и ось «х»)...n2>n1 хотя n2 более пологий и лежит ниже n1

Опр: Пусть случ. величины и независимы. Тогда случ. величина Y распределена по закону Стьюдента: с n степенями свободы. .

1) Рисуем графики (оси: St (x) и ось «х»)...n1>n2 - n2 более пологий и лежит ниже n1

2) При St(0,1) приближается к N(0,1)

Опр: Пусть и - независимые случайные величины. Тогда распределена по закону Фишера со степенями свободы n1 и n2

Св-во: Пусть Fn1,n2,p – квантиль распределения F(n1,n2) порядка p, тогда Fn1,n2,(1-p) = 1/ Fn1,n2,p

№33 Неравенства Чебышева

Теорема 1 (1ое неравенство Чебышева):

Пусть Х – случайная величина, . Тогда

• Рассмотрим случайную величину

Очевидно, или ;

•

Теорема 2 (2ое неравенство Чебышева):

Пусть Х-случайная величина, , . Тогда

• Рассмотрим непр. Х:

•

№34 Закон больших чисел(теорема Маркова):
Опр: Говорят, что последовательность случ. величин сходится по вероятности к числу a (), если (или )

Теорема Маркова:

Пусть последовательность случ величин удовлетворяет условиям: и . Тогда , т.е. .

•Обозначим , , . Применяем второе неравенство Чебышева:

•

№35 Следствия из закона больших чисел

1) Теорема Чебышева

Пусть – последовательность независимых или попарно некоррелированных случ. величин(*).: и . Тогда Тогда

2) Пусть - последовательность одинаково распр. случ. величин, удовл. условию (*).

, . Тогда или

3) Пусть , т.е - число успехов в серии n испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда , т.е

•

по следствию (2)•

№36 Центральная предельная теорема

Опр: Пусть - последовательность случайных величин. Говорят, что случайная величина имеет асимптотическое нормальное распределение с параметрами при , если для . - функция Лапласа. Обозн: .

Теорема:

Пусть последовательность удовлетворяет условиям:

1) - независимы.

2) - одинаково распределены

3) ,

Тогда для справедливо .

Замечания:

1)При достаточно больших n - , т.е. сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному.

2) Условие (2) не является принципиальным. Если , , то при некоторых требованиях вместо условия (3) при больших n имеем:

, т.е. и в этом случае сумма достаточно большого числа случайных величин распределена приблизительно нормально.