Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Замечание.

Читайте также:
  1. Замечание.
  2. Замечание.
  3. Замечание.

1. Если в условии Вейерштрасса , а в условии Лежандра , то сформулированные условия являются достаточными условиями сильного максимума.

2. Условие Якоби в отдельности являются необходимым условием сильного экстремума, т.е. если решение уравнения Якоби обращается в нуль при каком – либо значении из интервала , то на экстремали сильный экстремум не достигается.

3. Условие Вейерштрасса в отдельности является необходимым, т.е. если функция Вейерштрасса в точках экстремали при некоторых имеет противоположные знаки, сильный экстремум не достигается.

4. В случае когда функция трижды дифференцируема по , условие Вейерштрасса можно заменить легко проверяемым условием Лежандра.

На основании изложенных необходимых и достаточных условий экстремума функционала опишем общую схему нахождения экстремума функционала.

 

Алгоритм нахождения экстремума в задаче (3)

1. Найти экстремаль (экстремали) , удовлетворяющую уравнению Эйлера и заданным граничным условиям.

2. Проверить достаточные условия сильного и слабого экстремума на найденной экстремали. Если достаточные условия выполняются сделать вывод о достижении сильного или слабого минимума или максимума. Если достаточные условия не выполняются, учесть пп. 2 и 3 замечаний. В случае невыполнения условий Лежандра вывод об отсутствии экстремума сделать нельзя. Если достаточные условия экстремума выполняются, вычислить значение функционала на найденном решении.

Пример. Найти экстремум функционала

, , .

Решение.

1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям. Так как подынтегральная функция не зависит от и явно, то уравнение Эйлера имеет общее решение . Из граничных условий

находим , . В результате получаем экстремаль .

2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:

а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как на экстремали производная равна и , , , то уравнение (12) имеет вид . Отсюда и . Из условия получаем и . Так как нетривиальное решение () уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется;

б) так как функция трижды дифференцируема по , то применим условие Лежандра. Поскольку не сохраняет знака при любых , то достаточные условия сильного максимума и минимума не выполняются, а вопрос о наличии сильного экстремума остается открытым.

Проверим достаточные условия слабого максимума:

а) условие Якоби выполняется;

б) применим усиленное условие Лежандра. Так как на экстремали , то на ней достигается слабый минимум.

Найдем значение функционала:

.

Пример. Найти экстремум функционала

, , .

Решение.

1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям: .

2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:

а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как , , , , то уравнение (12) имеет вид . Отсюда и - общее решение. Из условия получаем и . Так как нетривиальное решение () уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется;

б) так как функция трижды дифференцируема по , то применим условие Лежандра. Поскольку при любых , то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно на этой же кривой достигается и слабый минимум.

 

 

II. Функционалы ,




Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 41 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Понятие функционала | Решение. | Так как есть функция числового параметра то, разложив эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки по степеням найдем | I. Функционалы , зависящие от одной функции | Теорема 2 | Уравнение Эйлера записывается в форме | Зависящие от производных высшего порядка одной функции | зависящие от производных высшего порядка нескольких функции |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав