Читайте также: |
|
1. Если в условии Вейерштрасса , а в условии Лежандра , то сформулированные условия являются достаточными условиями сильного максимума.
2. Условие Якоби в отдельности являются необходимым условием сильного экстремума, т.е. если решение уравнения Якоби обращается в нуль при каком – либо значении из интервала , то на экстремали сильный экстремум не достигается.
3. Условие Вейерштрасса в отдельности является необходимым, т.е. если функция Вейерштрасса в точках экстремали при некоторых имеет противоположные знаки, сильный экстремум не достигается.
4. В случае когда функция трижды дифференцируема по , условие Вейерштрасса можно заменить легко проверяемым условием Лежандра.
На основании изложенных необходимых и достаточных условий экстремума функционала опишем общую схему нахождения экстремума функционала.
Алгоритм нахождения экстремума в задаче (3)
1. Найти экстремаль (экстремали) , удовлетворяющую уравнению Эйлера и заданным граничным условиям.
2. Проверить достаточные условия сильного и слабого экстремума на найденной экстремали. Если достаточные условия выполняются сделать вывод о достижении сильного или слабого минимума или максимума. Если достаточные условия не выполняются, учесть пп. 2 и 3 замечаний. В случае невыполнения условий Лежандра вывод об отсутствии экстремума сделать нельзя. Если достаточные условия экстремума выполняются, вычислить значение функционала на найденном решении.
Пример. Найти экстремум функционала
, , .
Решение.
1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям. Так как подынтегральная функция не зависит от и явно, то уравнение Эйлера имеет общее решение . Из граничных условий
находим , . В результате получаем экстремаль .
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как на экстремали производная равна и , , , то уравнение (12) имеет вид . Отсюда и . Из условия получаем и . Так как нетривиальное решение () уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется;
б) так как функция трижды дифференцируема по , то применим условие Лежандра. Поскольку не сохраняет знака при любых , то достаточные условия сильного максимума и минимума не выполняются, а вопрос о наличии сильного экстремума остается открытым.
Проверим достаточные условия слабого максимума:
а) условие Якоби выполняется;
б) применим усиленное условие Лежандра. Так как на экстремали , то на ней достигается слабый минимум.
Найдем значение функционала:
.
Пример. Найти экстремум функционала
, , .
Решение.
1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям: .
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как , , , , то уравнение (12) имеет вид . Отсюда и - общее решение. Из условия получаем и . Так как нетривиальное решение () уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется;
б) так как функция трижды дифференцируема по , то применим условие Лежандра. Поскольку при любых , то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно на этой же кривой достигается и слабый минимум.
II. Функционалы ,
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 41 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |