Читайте также: |
|
1. Если в условии Вейерштрасса , а в условии Лежандра
, то сформулированные условия являются достаточными условиями сильного максимума.
2. Условие Якоби в отдельности являются необходимым условием сильного экстремума, т.е. если решение уравнения Якоби обращается в нуль при каком – либо значении
из интервала
, то на экстремали
сильный экстремум не достигается.
3. Условие Вейерштрасса в отдельности является необходимым, т.е. если функция Вейерштрасса в точках экстремали при некоторых имеет противоположные знаки, сильный экстремум не достигается.
4. В случае когда функция трижды дифференцируема по
, условие Вейерштрасса можно заменить легко проверяемым условием Лежандра.
На основании изложенных необходимых и достаточных условий экстремума функционала опишем общую схему нахождения экстремума функционала.
Алгоритм нахождения экстремума в задаче (3)
1. Найти экстремаль (экстремали) , удовлетворяющую уравнению Эйлера и заданным граничным условиям.
2. Проверить достаточные условия сильного и слабого экстремума на найденной экстремали. Если достаточные условия выполняются сделать вывод о достижении сильного или слабого минимума или максимума. Если достаточные условия не выполняются, учесть пп. 2 и 3 замечаний. В случае невыполнения условий Лежандра вывод об отсутствии экстремума сделать нельзя. Если достаточные условия экстремума выполняются, вычислить значение функционала на найденном решении.
Пример. Найти экстремум функционала
,
,
.
Решение.
1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям. Так как подынтегральная функция
не зависит от
и
явно, то уравнение Эйлера имеет общее решение
. Из граничных условий
находим ,
. В результате получаем экстремаль
.
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как на экстремали производная равна
и
,
,
, то уравнение (12) имеет вид
. Отсюда
и
. Из условия
получаем
и
. Так как нетривиальное решение (
) уравнения Якоби
при
, то условие Якоби выполняется;
б) так как функция трижды дифференцируема по
, то применим условие Лежандра. Поскольку
не сохраняет знака при любых
, то достаточные условия сильного максимума и минимума не выполняются, а вопрос о наличии сильного экстремума остается открытым.
Проверим достаточные условия слабого максимума:
а) условие Якоби выполняется;
б) применим усиленное условие Лежандра. Так как на экстремали
, то на ней достигается слабый минимум.
Найдем значение функционала:
.
Пример. Найти экстремум функционала
,
,
.
Решение.
1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям:
.
2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:
а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как ,
,
,
, то уравнение (12) имеет вид
. Отсюда
и
- общее решение. Из условия
получаем
и
. Так как нетривиальное решение (
) уравнения Якоби
при
, то условие Якоби выполняется;
б) так как функция трижды дифференцируема по
, то применим условие Лежандра. Поскольку
при любых
, то на кривой
достигается сильный минимум. Очевидно на этой же кривой достигается и слабый минимум.
II. Функционалы ,
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 115 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |