Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Замечание.

1. Если в условии Вейерштрасса , а в условии Лежандра , то сформулированные условия являются достаточными условиями сильного максимума.

2. Условие Якоби в отдельности являются необходимым условием сильного экстремума, т.е. если решение уравнения Якоби обращается в нуль при каком – либо значении из интервала , то на экстремали сильный экстремум не достигается.

3. Условие Вейерштрасса в отдельности является необходимым, т.е. если функция Вейерштрасса в точках экстремали при некоторых имеет противоположные знаки, сильный экстремум не достигается.

4. В случае когда функция трижды дифференцируема по , условие Вейерштрасса можно заменить легко проверяемым условием Лежандра.

На основании изложенных необходимых и достаточных условий экстремума функционала опишем общую схему нахождения экстремума функционала.

Алгоритм нахождения экстремума в задаче (3)

1. Найти экстремаль (экстремали) , удовлетворяющую уравнению Эйлера и заданным граничным условиям.

2. Проверить достаточные условия сильного и слабого экстремума на найденной экстремали. Если достаточные условия выполняются сделать вывод о достижении сильного или слабого минимума или максимума. Если достаточные условия не выполняются, учесть пп. 2 и 3 замечаний. В случае невыполнения условий Лежандра вывод об отсутствии экстремума сделать нельзя. Если достаточные условия экстремума выполняются, вычислить значение функционала на найденном решении.

Пример. Найти экстремум функционала

, , .

Решение.

1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям. Так как подынтегральная функция не зависит от и явно, то уравнение Эйлера имеет общее решение . Из граничных условий

находим , . В результате получаем экстремаль .

2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:

а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как на экстремали производная равна и , , , то уравнение (12) имеет вид . Отсюда и . Из условия получаем и . Так как нетривиальное решение () уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется;

б) так как функция трижды дифференцируема по , то применим условие Лежандра. Поскольку не сохраняет знака при любых , то достаточные условия сильного максимума и минимума не выполняются, а вопрос о наличии сильного экстремума остается открытым.

Проверим достаточные условия слабого максимума:

а) условие Якоби выполняется;

б) применим усиленное условие Лежандра. Так как на экстремали , то на ней достигается слабый минимум.

Найдем значение функционала:

.

Пример. Найти экстремум функционала

, , .

Решение.

1. Найдем экстремаль , удовлетворяющую уравнению Эйлера и граничным условиям: .

2. Проверим достаточные условия сильного экстремума:

а) для проверки условия Якоби составим уравнение Якоби (12). Так как , , , , то уравнение (12) имеет вид . Отсюда и - общее решение. Из условия получаем и . Так как нетривиальное решение () уравнения Якоби при , то условие Якоби выполняется;

б) так как функция трижды дифференцируема по , то применим условие Лежандра. Поскольку при любых , то на кривой достигается сильный минимум. Очевидно на этой же кривой достигается и слабый минимум.

II. Функционалы ,