Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

зависящие от производных высшего порядка нескольких функции

Постановка задачи

Рассмотрим множество допустимых вектор-функций , удовлетворяющих следующим условиям:

a. Функции определены и раз непрерывно дифференцируемы на отрезке , где - заданы, т.е.

b. Функции удовлетворяют граничным условиям:

(21)

где заданы.

На множестве задан функционал

(22)

где функция дифференцируема раза по всем переменным.

Среди допустимых вектор-функций , принадлежащих множеству , требуется найти вектор-функцию , на которой функционал (22) достигает экстремума, т.е.

(23)

Теорема (необходимые условия экстремума в задаче (23))

Если на вектор-функции , где

функционал (22) достигает экстремума, то функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера-Пуассона:

. (24)

Алгоритм применения необходимых условий экстремума в задаче (23)

4. Записать систему уравнений Эйлера-Пуассона (24).

5. Найти общее решение системы (24) .

6. Определить постоянные из граничных условий и записать выражения для экстремали .

Пример. Найти экстремаль функционала

,

удовлетворяющую граничным условиям: , , , , , , , , , .

Решение. Запишем систему уравнений Эйлера-Пуассона. Учтем, что порядок старшей производной функции равен двум, а функции - трем. Так как

, , , ,

, , , ,

, , ,

, , ,

то получаем

,

.

Решим систему уравнений Эйлера-Пуассона:

, , , ,

,

.

Решаем уравнение . Заметим, что оно имеет вид и поэтому может быть переписано в форме

.

Отсюда . Обозначим . Тогда имеем

, .

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Поэтому сначала решаем соответствующее однородное уравнение:

.

Очевидно, оно является уравнением с разделяющимися переменными:

.

Интегрируя обе части уравнения, получаем

или .

Решая неоднородное уравнение, получим решение . Переходим к переменной . Имеем . Отсюда

.

Определим постоянные интегрирования из граничных условий:

, , ,

,, , ,

отсюда , .

Находим постоянные интегрирования из условий:

, , , .

Имеем: , . Запишем уравнение экстремали , .