Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача Коши. Характеристики

Рассмотрим гиперболическое уравнение

(1)

Пусть в области задана достаточно гладкая поверхность и в каждой точке этой поверхности задана некоторая прямая , не касательная к и достаточно гладко изменяющаяся при движении вдоль , например нормаль к .

На поверхности к задаются значения функции и ее производные 1-ого порядка по направлению . Эти значения на будем называть начальными данными Коши.

Задача Коши для уравнения (1) ставится так: найти решения уравнения (1) в некоторой окрестности , удовлетворяющее начальным данным Коши на .

Пусть решение уравнения (1) существует.

Вопрос: можно ли с помощью (1) и начальных данных Коши определить на производные вторые и высших порядков от . Пусть вначале внешние данные имеют специальный вид

(2)

то есть, за выбрана гиперповерхность и за направление взята нормаль. Начальные данные (2) дают возможность определить на гиперплоскости все производные первого и второго порядка кроме . Для определения воспользуемся уравнением (1), положив в нем . Возможны два случая:

1)

2)

В случае 1 однозначно определяем на гиперплоскости , а также производные высших порядков.

В случае 2 мы придем к невозможному равенству или получим тождество, т.е. придем к несовместимости или неопределенности при нахождении вторых производных на гиперплоскости .

Перейдем теперь к общему случаю, когда начальные данные Коши даны на некоторой поверхности .

.

В окрестности поверхности выберем новые координаты

причем функции выбраны так, чтобы Якобиан преобразования был отличен от нуля на . Производные пересчитываются по следующим формулам

Подставляя в уравнение (1), получим

(*)

(**)

Остальные члены не содержат . Так как , начальные данные для преобразованного уравнения (*), т.е. они имеют описанный выше специальный вид. Таким образом, можем воспользоваться полученными ранее результатами, только в новых независимых переменных. Принимая во внимание (**), можем утверждать, что для того, чтобы начальные данные Коши на поверхности приводили к несовместимости или неопределенности при нахождении производных второго порядка на , необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла условию

причем это условие должно быть удовлетворено при

Поверхность называется характеристической поверхностью уравнения (1), или просто характеристикой, если в каждой точке этой поверхности имеет место равенство

. (D)

Замечание. Последнее условие выполняется не при всех , а только при .

Потребуем теперь, чтобы условие (D) выполнялось тождественно относительно . При этом условие (D) будет представлять обычное ДУ с частными производными 1-го порядка, и всякое решение, отличное от постоянной, будем давать не одну характеристику, а целое семейство характеристик где - произвольная постоянная. Можно показать, что всякую характеристику уравнения (1) можно включить в семейство

Уравнение (D) называется уравнением характеристик уравнения (1).

Пример. Рассмотрим волновое уравнение

(3)

и конус

Уравнение (D) имеет вид

Это уравнение при удовлетворяется, так как

Отсюда следует, что конус является характеристической поверхностью уравнения (3), тогда как поверхности уже не являются характеристическими поверхностями уравнения (3).