Читайте также:
|
Рассмотрим уравнение:
(1)
К такому виду приводится линейное гиперболическое уравнение с двумя независимыми переменными. (a, b, c, f – непр. ф-ции).
Уравнение характеристик для (1) имеет вид 
. Отсюда приходим к аналогу уравнения (7а) 
, следовательно: x = const; y = const – уравнения характеристик для уравнения (1).
Задача Коши. Пусть в плоскости 
дана дуга кривой l, которая пересекается не более чем в одной точке с прямыми, параллельными осям координат. Уравнение этой дуги может быть записано в виде 
или 
. Будем считать, что существуют 
и 
, отличные от нуля.
Пусть вдоль дуги l заданы значения 
и 
:
(2)
Данные Коши (2) позволяют на кривой 
найти значения производной 
:
Действительно, дифференцируя по 
первое из равенств (2) имеем
,
откуда
(14)
Задача Коши ставится так: требуется найти решение уравнения (1) в некоторой окрестности кривой 
, удовлетворяющее данным Коши (2).
Введем функции
(4)
Тогда уравнение (1) равносильно системе трех уравнений
(5)
Возьмём в четырехугольнике 
произвольную точку 
(
) и проведем через неё характеристики 
и 
до пересечения с кривой l. Интегрируя 1-е и 3-е уравнения системы (5) по прямой 
, а второе - по прямой 
, принимая во внимание (2), (3), (4), получим
(6)
Очевидно, что если 
– решение (1), то (
) удовлетворяют (6). Обратно, непрерывное решение (6) удовлетворяет (5), а функция удовлетворяет (1) и условиям (2).
Действительно, из третьего уравнения системы (6) имеем 
, в силу (4), (5), (3) и третьего уравнения (6)
Следовательно, оба уравнения (4) выполнены. Подставляя теперь (4) в (5), получаем
т.е. уравнение (1).
Очевидно, функция удовлетворяет данным Коши (2). Таким образом, задача Коши (1) – (2) свелась к доказательству существования непрерывного решения системы интегральных уравнений (6). Решение (6) будем искать методом последовательных приближений. За нулевое приближение берем
Следующие приближения вычисляются по формулам
(7)
Делаем равномерную сходимость последовательностей 
в криволинейном треугольнике 
. Имеем:
(8)
Лемма. Справедливы оценки
(9)
где 
– некоторая постоянная.
Доказательство. При 
справедливость (9) очевидна, если выбрать 
достаточно большой. Покажем, что эти неравенства останутся справедливыми при замене 
на 
. Из равенств (8) имеем, например,
Точно так же оцениваются и другие разности 
и 
. Из оценок (9) следует (по методу математической индукции утверждение леммы). Лемма доказана.
Из оценок (9) следует абсолютная и равномерная сходимость рядов
члены которых по абсолютной величине меньше членов равномерно сходящегося ряда
.
Следовательно, последовательные приближения 
в криволинейном треугольнике 
равномерно стремятся соответственно к определенным пределам .
Предельные функции непрерывны, так как являются пределами равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Переходя к пределу в формулах (7) мы получим, что предельные функции удовлетворяют (6).
Единственность решения системы (6)
Допустим, что существуют два различных непрерывных решения системы (6) (
) и (
).
Обозначим 
; 
; 
. Тогда 
удовлетворяют однородной системе уравнений
(10) Нужно доказать, что 
.
Функции непрерывны, => в криволинейном . Значит cуществует const >0, что 
Из (10) имеем
Применяя метод математической индукции, получим следующие оценки
Отсюда = > .
Задача Гурса.
Требуется найти решение уравнения (1), принимающее заданные значения на характеристиках 
и 
:
(11)
Будем считать, что 
и 
имеют непрерывные производные второго порядка и 
.
Введем, как и в случае задачи Коши
; 
(12)
Тогда уравнение (1) равносильно системе трех уравнений
Отсюда, так же, как при получении (6), с учетом (11) и (12) имеем
(13)
Как и в случае задачи Коши доказывается, что задача Гурса (1), (11) сводится к доказательству существования непрерывного решения системы интегральных уравнений (13). Как и выше, существование и единственность решения системы (13) доказывается методом последовательных приближений.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 89 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |