Читайте также:
|
Рассмотрим твердое тело, температура которого в т. 
в момент 
есть 
. Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых к менее нагретым частям. Возьмем некую поверхность 
внутри тела и на ней малый элемент 
В теории теплопроводности принимается, что количество тепла 
, проходящее через элемент 
за время 
пропорционально 
т.е.
(1)
здесь 
– направление нормали к элементу в направлении движения тепла, 
– коэффициент внутренней теплопроводности. Будем считать тело изотропным в отношении теплопроводности, т.е. что 
зависит лишь от и не зависит от 
Обозначим через 
тепловой поток, т.е. количество тепла, проходящее через единицу площади поверхности в единицу времени. Тогда из (1) 
Для вывода уравнения распространения тепла выделим внутри тела произвольный объем 
, ограниченный гладкой замкнутой поверхностью и рассмотрим изменение количества тепла в этом объеме за время 
Нетрудно видеть, что через поверхность за это время согласно (1) проходит количество тепла, равное
где – внутренняя нормаль к .
Рассмотрим элемент объема 
. На изменение температуры этого объема на 
за время 
нужно затратить количество тепла, равное
где 
- плотность, 
- теплоемкость вещества.
Следовательно, количество тепла, необходимое для изменения температуры на = 
равно
или
Предположим, что внутри тела имеются источники тепла. Обозначим через 
- плотность тепловых источников (количество тепла, поглощаемого или выделяемого в 1 объеме тела в единицу времени). Тогда количество тепла, поглощаемого, либо выделяемого в объеме за время 
будет равно
Составим теперь уравнение баланса тепла для выделения объема . Очевидно
т.е.
применяя формулу Остроградского ко второму интегралу, будем иметь (- появится т.к. внутренняя, а не внешняя нормаль)
.
Т.к. промежуток и объем произвольны, то для любой точки тела в любой момент 
:
|
Это уравнение теплопроводности неоднородного изотропного тела.
Если тело неоднородно, то 
и
где
Если в однородном теле нет источников тепла, то
однородное уравнение
теплопроводности. В частном случае, когда 
что, например, имеет место в тонкой однородной пластине, 
Наконец, для линейного тела (однородный стержень) 
Чтобы найти температуру внутри тела недостаточно одного уравнения теплопроводности. Необходимо еще знать распределение температуры внутри тела в начальный момент времени и тепловой режим на границе тела (краевое условие). Условие на границе задается различными способами
1) В каждой точке поверхности задается температура
(2)
2) На поверхности задается тепловой поток
откуда
(3)
3) На поверхности тела происходит обмен с окружающей средой, температура которой известна. Закон теплообмена очень сложен, но для упрощения он может быть принят в виде закона Ньютона.
По закону Ньютона:
Количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду прямопропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды:
, где 
- коэффициент теплообмена.
Будем считать 
.
По закону сохранения энергии это количество тепла должно быть равно тому количеству тепла, которое передается через единицу поверхности тела за единицу времени 
, 
, (здесь 
– внешняя нормаль к ). Заменим 
Таким образом, задача о распространении тепла в изотропном твёрдом теле ставится так:
Найти решение уравнения:
удовлетворяющее начальному условию
и одному из условий 
.
Первая краевая задача для уравнения теплопроводности
Постановка задачи: Пусть 
- конечная область в 
. Обозначим 
. Часть границы 
, состоящую из нижнего основания 
и боковой поверхности, обозначим через 
.
Рассмотрим следующую задачу: найти в решение уравнения
(1)
удовлетворяющие начальному условию
(2)
и граничному условию
Предположим, что функции 
непрерывны, причем выполнено условие согласования 
. Задача 
называется первой краевой задачей для уравнения теплопроводности.
Теорема (о максимуме и минимуме).
Функция, 
удовлетворяющая 
в 
и ненулевая вплоть до границ 
, принимает наибольшее и наименьшее значение на ,т.е. или при 
, или на боковой поверхности цилиндра .
Доказательство. Так как теорема о минимуме сводится к теореме о максимуме переменной знака у 
, то мы ограничимся доказательством теоремы о максимуме.
Обозначим 
, 
.
Допустим, что существует такое решение уравнения , что для него 
, т. е. теорема о максимуме не верна. Пусть эта функция принимает значение 
в точке 
где 
и 
. Рассмотрим функцию 
, где 
- диаметр области . На боковой поверхности цилиндра и на его нижнем основании 
, а 
. Следовательно, 
так же, как и не принимает наибольшего значения ни на боковой поверхности , ни на его нижнем основании. Пусть принимает наибольшее значение в точке 
, где 
.
Тогда в этой точке вторые производные 
и 
(если 
то 
если же 
то ), откуда следует, что в т. должно быть
(*)
С другой стороны, 
что противоречит 
и теорема доказана.
Следствие 1. Решение первой краевой задачи 
в единственно.
Действительно, если бы имелось два решения 
и 
задачи, то 
удовлетворяла бы однородному уравнению и обращалась бы в нуль как при , так и на . Но тогда, в силу предыдущей теоремы, 
в 
ч.т.д.
Следствие 2. Решение задачи непрерывно зависит от правых частей начального и граничного условий.
Действительно, если разности функций, входящих соответственно в начальные и граничные условия по абсолютной величине не превосходят 
, то и разность между построенными по этим данным решениями, как решение однородного уравнения с малыми начальными и граничными условиями, будут по абсолютной величине также не превосходить 
во всем .
Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности в 
.
Задача. Найти непрерывную в функцию 
, удовлетворяющую в уравнению теплопроводности
(4)
начальному условию
и краевым условиям
(5)
с 
непрерывными и
.
Изучение этой задачи начнем с простейшей: найти в прямоугольнике решение однородного уравнения
(6)
удовлетворяющее начальному условию
(7)
и однородным краевым условиям
(8)
где 
- имеет кусочно-непрерывную 
и 
Докажем существование решения (6)-(8) методом Фурье для прямоугольника .
Будем искать частные решения (6) в виде
. (9)
Подставляя это в (6), имеем
или
,
откуда получаем два уравнения
(10)
(11)
Чтобы получить нетривиальные решения вида 
, удовлетворяющие краевым условиям (8), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (11), удовлетворяющие краевым условиям 
.
Таким образом, для определения 
мы приходим к задаче о собственных значениях
(12)
1. 
. Общее решение
удовлетворяющие краевым условиям
; 
.
2. 
; 
3. 
На границе:
Надо, чтобы 
(13)
Этим собственным значениям соответствует собственные функции 
, (14)
определяемые с точностью до постоянного множителя (заметим, что положительные и отрицательные 
дают 
можно брать не 
а 
).
При 
решения уравнения 
есть
(15)
Итак, все функции
(16)
удовлетворяют уравнению (6) и граничным условиям (8).
Составим ряд
(17)
Требуя выполнения начального условия (7), получим
(18)
Написанный ряд есть разложение по синусам в 
, 
(19)
Так как мы предположили, что имеет кусочно-непрерывную первую производную и 
, то ряд 
с коэффициентом 
, определяемым по (19), равномерно и абсолютно сходится к , что известно из теории тригонометрических рядов. Так как при 
то ряд (17) также при сходится абсолютно и равномерно.
Поэтому функция , определяемая рядом (17), непрерывна при 
и удовлетворяет начальному и граничному условиям.
Осталось показать, что функция удовлетворяет (6). Для этого достаточно показать, что ряды, получаемые из (17) почленным дифференцированием по один раз и по два раза также равномерно и абсолютно сходятся в . Это последнее утверждение следует из того, что при 
;
при 
.
Совершенно так же можно показать, что у функции существуют непрерывные производные любого порядка в 
.
Единственность решения задачи 
и непрерывная зависимость от начальной функции были установлены, как следствие теоремы о максимуме и минимуме. Таким образом, задача поставленакорректно для , если начальное условие задано при 
.
Задача. Найти в прямоугольнике 
решение неоднородного уравнения
(20)
удовлетворяющее начальному условию
(21)
и однородным краевым условиям
. (22)
при этом предполагается, что непрерывная функция 
имеет кусочно-непрерывную первую производную и, что при всех выполняются условия
.
Будем искать решение задачи 
в виде ряда Фурье 
(23)
по собственным функциям задачи 
.
Разлагая функцию в ряд Фурье по синусам, будем иметь
(24)
где
(25)
Подставим ряд 
в уравнение 
, с учетом 
получим 
Отсюда
(26)
Далее получаем начальное условие для 
из начальных условий для :
(27)
Решаем 
при начальных условиях (27)
(28)
Подставляя 
в , получаем решение задачи в виде
(29)
Замечание. Если начальные условия неоднородны, то к решению 
следует прибавить решение однородного уравнения теплопроводности с заданным начальным условием 
и однородными граничными условиями
.
Вернемся теперь к общей первой краевой задаче 
.Введем новую неизвестную функцию 
, положив 
, где
.
Функция будет определяться как решение уравнения
, (30)
где
,
с начальным условием
и краевыми условиями
(31)
Таким образом, решение первой начально-краевой задачи общего вида может быть сведено к решению задач, решенных раньше.
Задача Коши.
Постановка задачи Коши. Найти функцию , 
, удовлетворяющую уравнению теплопроводности
(1)
и начальному условию
(2)
В 
- непрерывная и ограниченная функция.
Единственность решения. Докажем единственность решения задачи Коши, предполагая, что решение ограничено во всей области, т.е. существует такое число , что 
для всех 
. Пусть 
- два решения , удовлетворяющих условию . Тогда разность 
ограничена во всей области
Теорему о максимуме и минимуме для неограниченной области непосредственно применить нельзя, так как функция может нигде недостигать наибольшего и наименьшего значений. Чтобы воспользоваться этой теоремой, рассмотрим конечную область
. (3)
Возьмем функцию
,
которая является решением уравнения теплопроводности (1). Легко видеть, что
.
Применяя теорему о максимуме и минимуме и разности между функциями
и 
, в области 
, будем иметь
.
Откуда
или
Фиксируем некоторые 
, выберем 
достаточно большим. Получим 
, откуда в силу произвольности и точки 
следует, что 
Существование решения задачи Коши.
В начале найдем частные решения уравнения вида
(4)
Подставляя 
в и разделяя переменные, получим
где 
- постоянная, получаем
,
откуда, полагая постоянный множитель в представлении 
равным единице, получаем
; 
.
постоянные 
и 
могут зависеть от 
. Так как граничные условия отсутствуют, параметр остается произвольным. Согласно (4) имеем
(5)
есть частное решение уравнения (1) при 
. Интегрируя (5) по , получаем также решение уравнения (1).
, (6)
если только этот интеграл равномерно сходится и его можно дифференцировать по (1 раз) и по (2 раза). Выберем 
и 
так, чтобы выполнялось начальное условие (2). Полагаем в (6) . Из (6) и (2)
. (7)
Интеграл Фурье.
Пусть 
: 
R, 
. Пусть разлагается в ряд Фурье на 
, где
.
Подставим в ряд разложения для коэффициентов
.
Обозначим 
; 
, подставляя, получим
.
При 
первое слагаемое 
, т.к.
.
Переходя к пределу при , получим
- интеграл Фурье.
Так как функция 
четна по 
,
.
Таким образом, мы представили 
в виде двойного интеграла Фурье
Сравнивая интеграл в правой части (7) с интегралом Фурье для функции :
, (*)
мы видим, что можно удовлетворить равенству (7), положив
(8)
.
Подставим (8) в (6), получим
Меняем порядок интегрирования, пользуясь формулой
,
легко находим, что
. (9)
Нетрудно видеть, что функция
, (10)
hассматриваемая как функция переменных 
является решением (1). Функция (10) называется фундаментальным решением уравнения (1).
Докажем, что для любой непрерывной и ограниченной функции функция (9) уравнению теплопроводности (1). Для этого нам достаточно доказать, что интеграл (9), а также интегралы, полученные его формальным дифференцированием под знаком интеграла по и сколько угодно раз, равномерно сходятся в любом прямоугольнике 
, где . Действительно, дифференцируя (9) несколько раз по и , мы получим сумму интегралов, и нужно показать, что каждый интеграл равномерно сходится. После дифференцирования под знаком интеграла выделяется множитель 
в положительной степени, который остается под знаком интеграла, и множитель в некоторой степени, который можно вынести из-под знака интеграла. Таким образом, мы получим сумму интегралов вида
. (11)
Произведем замену 
. Преобразуем интеграл (11) к виду
.
Отсюда легко видеть, что интеграл 
равномерно сходится при 
, так как подынтегральная функция мажорируется функцией 
, которая интегрируема в R (где : 
).
Таким образом, функция 
, определяемая формулой (9), непрерывна и имеет производные любого порядка по и при . Так как подынтегральная функция удовлетворяет (1) при , то следует, что функция удовлетворяет (1) при .
Докажем теперь, что (9) удовлетворяет начальному условию (2), т.е., что
,
при 
R. Введем вместо 
новую переменную по формуле 
.
Интеграл (9) имеет вид
. (12)
Отсюда следует ограниченность решения при R, . Действительно,
,
так как
. (13)
Умножая (13) на , затем, вычитая из (12), получим
, откуда
. (14)
В силу ограниченности при 
и , имеем
. (15)
Пусть - сколь угодно малое число. Так как интеграл (13) сходится, то можно фиксировать столь угодно большое число 
, что
. (16)
Разобьем промежуток интегрирования на три части:
. Принимая во внимание (15), (16), будем иметь из (14):
.
при всех , достаточно близких к нулю и при всех 
R. Отсюда, в силу произвольности , следует .
Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальной функции.
Пусть - решение (1), удовлетворяющее начальному условию (2), а 
- решение того же уравнения, удовлетворяющее условию
. (17)
Тогда, если 
для всех R, то 
для всех и . Действительно, решения (1), удовлетворяющие, соответственно, начальным условиям (2) и (17), выражаются формулой (9). Беря их разность, будем иметь
, откуда
,
или, полагая , получим
, ч.т.д.
Замечание. Из (9) следует, что тепло распространяется вдоль стержня не с какой-либо конечной скоростью, а мгновенно. Действительно, пусть начальная температура положительна для 
и 
вне 
. Тогда для последующего распределения температур получаем
,
откуда видно, что при сколь угодно малых и сколь угодно больших : 
. Это объясняется неточностью теоретических предпосылок, лежащих в основе теории теплопроводности.
Замечание. Решение (1)-(2) есть функция, непрерывно дифференцируемая сколь угодно раз по и , вне зависимости от того, сколько производных существует у . Эта гладкость решений существенно отличает однородное уравнение теплопроводности, например, от уравнения колебания струны.
Физический смысл фундаментального решения (10) уравнения теплопроводности (1).
Выделим малый элемент стержня 
около точки 
и будем считать, что равна 0 вне и имеет постоянное значение 
внутри него. Физически это можно представить так, что мы в начальный момент времени сообщили этому элементу количество тепла 
, которое вызвало повышение на температуры в этом участке стержня. В последующие моменты времени распределение температуры в стержне дается формулой (9), которая в данном случае принимает вид
.
Будем теперь уменьшать (
), т.е. будем считать, что то же количество тепла распределяется на все меньшем участке и в пределе сообщается стержню в точке 
, то мы приходим к понятию мгновенного точечного источника тепла напряжения Q, помещенного в момент времени t = t 
в точке x = x . От действия такого мгновенного точечного источника тепла в стержне получается распределение температур по формуле
. (18)
Применяя теорему о среднем, будем иметь 
, где
, и, т.к. 
при , то выражение (18) примет следующий вид
.
Вывод. Фундаментальное решение (10) дает распределение температуры, которое вызывается мгновенным точечным источником тепла напряжения 
, помещенный в начальный момент в точке 
стержня.
Графики фундаментального решения
при фиксированном , как функции от x в отдельные моменты 
представлены на рисунке
Площадь под каждой из этих кривых равна 
. Это означает, что количество тепла в стержне () остается неизменным с течением времени.
Задача 1. Доказать, что неоднородное уравнение
при нулевом начальном условии 
имеет решение вида
.
Указание. Применить метод, изложенный для неоднородного волнового уравнения.
Задача 2. Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводнсти на отрезке 
Задача 3. Решить задачу об остывании однородного бесконечного стержня, если тепловой режим кусочно-постоянной начальной функцией 
Задача 4. Решить задачу для уравнения параболического типа на бесконечной прямой
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 161 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |