Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения колебаний

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС

«Уравнения гиперболического и параболического типов»

Учебно-методическое пособие для студентов

Составители: Глушко А.В.

Глушко В.П.

Савченко Ю.Б.

Ткачева С.А.

Воронеж

Утверждено научно-методическим советом математического факультета

октября 2006 года ротокол № 2

Рецензент

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов 3 курса дневного отделения математического факультета.

Для специальности: 010101 (010100) – Математика

Уравнения колебаний

Уравнение

(1)

описывает малые поперечные колебания натянутой струны и продольные колебания упругого стержня. Приведем краткий вывод этих уравнений.

1. Поперечные колебания струны

Струной называется упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу.

Пусть струна длиной натянута с силой . Направим ось вдоль струны, находящейся в положении равновесия и пусть - левый конец струны. Тогда – правый конец струны. Возьмем и будем рассматривать лишь поперечные колебания струны, когда каждая точка смещается только перпендикулярно оси . Обозначим смещение точки струны в момент . Предположим, что углы, образуемые струной с малы: . Докажем, что удовлетворяет уравнению (1). Для этого запишем второй закон Ньютона в проекции на для участка струны оси :

(2)

Здесь (ускорение), , -плотность (линейная) струны, .

Через обозначена сила, действующая на участок со стороны левого (правого) куска струны, -проекция ускорения на Оu; , - проекция сил на Оu; -плотность поперечных внешних сил. Например, в поле тяжести Земли = , где . Подставляя , и в (2), получаем

(3)

Далее, для гибкой струны сила натяжения направлена в каждой точке по касательной к струне. Примем, что постоянна по величине. Тогда

; (3’)

Уравнение (3) принимает вид

(4)

Поскольку мы рассматриваем «малые» колебания струны, при которых , то с точностью до бесконечно малых высшего порядка по и .

;

Подставляя эти выражения в (4), имеем с той же точностью (5)

Делим на , при получаем (1), в котором ; (если плотность постоянна)

Замечание. Так как ; , их сумма есть ,следовательно, проекция на ось равнодействующей сил, действующих на участок , есть бесконечно малая более высокого порядка. С точностью до этих бесконечно малых, малые колебания струны являются поперечными.

Граничные условия для струны

А) Если левый конец струны закреплен, то , при (6`)

Б) Предположим, что левый конец струны прикреплен к кольцу (невесомому), которое может спокойно передвигаться по вертикальному стержню. Тогда вертикальная составляющая силы действия стержня на левый конец струны при равна 0:

(6``)

В) В более общем случае, когда на левом конце к струне прикрепим груз массой , выполняется краевое условие

(7)

Г) Если, кроме того, груз прикреплен к пружине жесткости , то в правой части (7) нужно добавить силу упругости - .

Еще может быть сила трения, пропорциональная скорости - .

Таким образом, приходим к условию

(8)

Здесь – некоторая внешняя сила, прилагаемая к левому концу. Аналогичные условия могут быть заданы и в правом конце струны .

Продольные колебания упругого стержня

Пусть имеется однородный ненапряженный стержень длиной . Направляем вдоль стержня, так чтобы его левый конец находился в точке , тогда – его правый конец. Будем рассматривать лишь продольные колебания стержня. Через будем обозначать смещение точки в момент вдоль оси .

Докажем, что удовлетворяет уравнению (1). Для этого запишем второй закон Ньютона в проекции на для участка стержня от до :

(9)

Сила имеет вид

(9`)

где ()- сила, действующая вдоль на участок со стороны левого (правого) конца стержня, а - плотность внешних сил, направленных вдоль оси . Например, если стержень висит вертикально в поле тяготения Земли, так что направлена вниз, то .

Подставляя в (9), получаем

(10)

Чтобы найти и , воспользуемся законом Гука:

(11)

Здесь - напряжение стержня в точке , т.е. , где - сила напряжения стержня в т. , а - площадь поперечного сечения, – модуль Юнга материала стержня, - относительная деформация стержня в точке . Для участка стержня его длина в ненапряженном состоянии равна , а в напряженном – . Поэтому его абсолютное удлинение равно , а относительное

.

Итак,

(12)

Отсюда по закону (11) Гука:

(13)

Отметим, что закон Гука (11) – это линейное приближение для зависимости от и он применим лишь при малых деформациях, т.е. малых .

Учитывая направление сил и , получаем

Подставляя (14) в (10), получаем (15)

Делим на и устремляем , получаем (1)

, , (16)

еще обозначают - объемная плотность стержня, тогда .

Граничные условия для стержня

А) Для закрепленного левого конца

Б) Для свободного левого конца натяжение

то есть

В) Общий случай

К левому концу прикреплен груз массы m, закрепленный на пружине жесткости , пружина находится в ненапряженном состоянии, когда смещение левого конца равно 0.

Груз движется с трением - скорость груза. Тогда при выполняется краевое условие

(17)

где – внешняя сила, действующая на левый конец вдоль .

Классификация уравнений 2-ого порядка.

Типы уравнений второго порядка.

Рассмотрим уравнение второго порядка

(1)

Коэффициенты - заданные функции в области . Уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу в точке , если в этой точке квадратичная форма

(2)

знакоопределена.

Уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу в точке , если в этой точке квадратичная форма (2) при приведении её к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент противоположного знака.

Уравнение (1) принадлежит ультрагиперболическому типу в точке , если в этой точке квадратичная форма (2) при приведении её к сумме квадратов, имеет больше одного положительного коэффициента.

Уравнение (1) принадлежит параболическому типу в точке , если в этой точке квадратичная форма (2) при приведении её к сумме квадратов имеет только один коэффициент, равный нулю, все же другие коэффициенты имеют одинаковые знаки.

Уравнение (1) принадлежит эллиптическому (гиперболическому) типу в области , если оно во всех точках этой области принадлежит эллиптическому (гиперболическому) типу.

Если коэффициенты постоянные, то принадлежность уравнения тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных.

Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка

с двумя независимыми переменными.

Рассмотрим квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными

, (3)

где - функции от и класса .

Предполагаем, что одновременно в нуль не обращаются. Уравнению (3) соответствует квадратичная форма

(2`)

Уравнение (3) принадлежит

1) Гиперболическому типу, если (квадратичная форма (2`) знакопеременная)

2) Параболическому типу, если (квадратичная форма знакопостоянная)

3) Эллиптическому типу, если (квадратичная форма (2`) знакоопределённая).

Введем замену ,

- дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем якобиан

(4)

В новых переменных и уравнение (3) запишется так:

(5)

где

(*)

Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что

(**)

Отсюда следует, что преобразование независимых переменных не меняет типа уравнения.

В преобразованиях в нашем распоряжении две функции . Покажем, что их можно выбрать так, чтобы выполнялось только одно из условий: .

1) . В рассматриваемой области уравнение принадлежит гиперболическому типу. Мы можем считать, что в точке , в окрестности которой мы будем приводить уравнение (3) к каноническому виду, либо , либо .

Рассмотрим дифференциальное уравнение 1-ого порядка

(6)

Пусть . Так как , то (6) запишем в виде

Это уравнение распадается на два

Решения каждого из уравнений (6а), (6б) будут решениями уравнения (6).

Для интегрирования уравнений (6а) и (6б) составим соответствующие им системы обыкновенных дифференциальных уравнений из следующих соображений. Найдем интегралы уравнений (6а) и (6б), то есть функции , при которых уравнения (6а) и (6б) будут равносильны однопараметрическим функциональным уравнениям .

Имеем:

.

Отсюда,

(7)

Заметим, что уравнения (7) можно записать в виде одного уравнения

(7а)

Коэффициенты уравнений (7) имеют непрерывные частные производные до второго порядка. Так как , то существуют решения уравнений , то есть если обозначить , то левые интегралы

(8)

Левые части уравнений имеют непрерывные частные производные до второго (даже до третьего) порядка в окрестности . Левые части интегралов (8) будут решениями (6а) и (6б) соответственно.

Кривые (8) называются характеристиками уравнения (3), а уравнение (6) – уравнением характеристик.

Положим в преобразовании координат : ,

где - решения (6а) и (6б). Выберем их так, чтобы в некоторой окрестности (где, кстати, ) якобиан

был отличен от нуля.

Отсюда, в силу что если, то либо , либо .

Таким образом, надо строить такие решения (6а) и (6б), у которых обе производные одновременно не равны 0.

Замечание. Поясним возможность такого построения. Очевидно, что из представления , где - решения уравнения .

, то есть, отлична от нуля.

Функции и удовлетворяют уравнению (6) и, в силу замен (*), в уравнении (5): . Коэффициент всюду в рассматриваемой области, что следует из (4)

и из (**).

Разделив на уравнение (5) () имеем

канонический вид уравнения гиперболического типа.

Аналогично показывается, что при уравнение (3) может быть приведено к виду

канонический вид уравнения параболического типа,

а в случае к виду

канонический вид уравнения эллиптического типа.