Читайте также:
|
Температура електронного газу більша нуля, отже за рахунок теплових флуктуацій електрони можуть виходити зі сфери Фермі, тобто сфера розмивається і це розмиття описується розподілом Фермі-Дірака 
тоді енергія електронного газу
залежить від температури, 
- густина станів, 
- кількість станів. з енергіями з інтервалу 
в яких можуть перебувати електрони. Енергія і хвильове число однозначно зв'язані, тому 
Якщо в оберненому просторі виділимо
прошарок товщиною dk і радіусом k, то кількість станів буде рівна
звідси
Повна енергія:
(1) 
Аналогічно повна кількість електронів:
(2) 
Ці два рівняння складають основу теорії Зоммерфельда, із рівняння (2) випливає, що при умові 
Дж, 
Дж,
так що при будь-якій температурі (нижче плавлення) класичні властивості електронного газу вироджені.
Можна показати, що при умові виродженості електронного газу його енергія 
де нульовий рівень 
, знаходимо, використовуючи рівність (1):
Квадратичну залежність від температури для енергії виродженого газу можна зрозуміти з наступних міркувань. З ростом температури від абсолютного нуля, електрони отримують можливість виходити за межі сфери Фермі, набуваючи при цьому додаткової енергії порядку А:Г. Але цю можливість можуть використати лише ті електрони, які знаходяться поруч зі сферою Фермі, тобто, дія яких
. Кількість таких електронів по порядку величини рівна 
зміна енергії електронного газу 
Раз енергія змінюється квадратично, то 
звідси теплоємність прямує до нуля по лінійному закону і при будь-яких реальних температурах для металу вона набагато менша ніж теплоємністькласичного газу. Зоммерфельд показав, що в квантовій теорії вільних електронів можна використовувати результати класичної теорії, якщо в них зробити дві заміни:
В усіх процесах розсіювання електронів на дефектах приймають
участь лише електрони з тонкого прошарку навколо сфери Фермі з енергетичною товщиною порядку kT, тому всі ці електрони мають приблизно однакову швидкість рівну швидкості Фермі 
Наприклад, розглянемо теплопровідність металів. Згіднокласичної теорії 
, тоді квантова теорія дає 
В законі Ома ніяких змін не треба робити, тоді відношення теплопровідності до електропровідності матиме вигляд:
(Нагадаємо, що 
). Квантова теорія дає узгодження з експериментом.
Модель вільних електронів у металі задовільно описує експериментальні дані лише для лужних металів, але навіть для них ця модель не узгоджується з даними ефекту Холла та оптичними властивостями металів. Крім того, теорія вільних електронів зовсім не пояснює залежність електричних властивостей твердих тіл від їхньої структури. Як було видно з оцінки довжини хвилі де-Бройля, для сфери Фермі, електрони повинні дифрагувати на власній кристалічній решітці, а значить не можна нехтувати взаємодією електронів з решіткою.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 100 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |