|
Читайте также: |
1. Необходимость.
{xn} сходится 
а 
0 N 
n>N: │xn - а│< 
.
Возьмём произвольное 
0, зафиксируем его и проверим выполнение условия Коши.
{xn} сходится 
а 0, а значит и для нашего фиксированного 
>0, N n>N: │xn - а│< .
Возьмём произвольные n>N и m>N и рассмотрим │xn - хm│=│xn -а+а - хm│ 
│xn - а│+│xm - а│< + = , т.е. условие Коши выполнено.
2. Достаточность.
Пусть {xn} удовлетворяет условию Коши 0 n>N, 
: │xn - хm│< .
Докажем, что {xn} сходится.
{xn} удовлетворяет условию Коши 0, а значит и для =1>0 N=N(
) n>N и m>N: │xn - хm│< .
Пусть m=N+1>N: │xn - хN+1│<1 
n>N: xN+1 -1<xn<xN+1+1 n>N+1: xn 
(xN+1 -1, xN+1+1).
Вне этого интервала могут находится х1, х2, …, хN.
Пусть А=min{х1, х2, …, хN, xN+1 -1}
B=max{х1, х2, …, хN, xN+1+1}
Тогда n, n=1, 2, …: xn [А, В] {xn} – ограничена, а тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса (§9) из {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk}.
{xnk} сходится а: а= 
xnk.
Докажем, что а= 
xn.
По условию Коши, 0, >0, N n>N m>N: │xn - хm│< 
.
Положим m=nk 
k>N. Тогда xnk - < xn< xnk+ .
Устремим k 
+ 
. Тогда по теореме 1 §4 (предельный переход в неравенствах для одной последовательности) получаем а- 
xn а+ │xn - а│ 
< 
│xn - а│< а= xn.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 91 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |