Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема единственности для уравнения теплопроводности

Если две функции, определенные и непрерывные в области , удовлетворяют уравнению теплопроводности с начальными и краевыми условиями

(1)

то

Рассмотрим функцию Функция V (x,t) является решением однородного уравнения теплопроводности в этой области (o<x<l, t>0).

.
Надо доказать, что однородное уравнение с однородными условиями имеет только тривиальное(то есть равное нулю) решение. Для доказательства будем использовать принцип максимума
(минимума). Докажем его.

Принцип максимума (минимума):

Если функция , определенная и непрерывная в замкнутой области и , удовлетворяет уравнению теплопроводности

(2)

в точках области , то максимальное и минимальное значения функции достигаются или в начальный момент, или в точках границы x= 0 или x=l.

Доказательство (от противного)

Обозначим через M максимальное значение

при или

при

и допустим, что в некоторой точке функция достигает своего максимального значения, равного

Сравним знаки левой и правой частей уравнения (8) в точке . Так как в точке функция достигает своего максимального значения, то

и

(3)

Так как достигает максимального значения при , то

.

(4)

Сравнивая знаки правой и левой части уравнения (2), мы видим, что они различны. Однако это рассуждение еще не доказывает теоремы, так как правая и левая части могут быть равны нулю, что не влечет за собой противоречия.
Для полного доказательства найдем точку , в которой и . Для этого рассмотрим вспомогательную функцию

(5)

где - некоторое постоянное число. Значит, функция V (x,t) не является решением уравнения теплопроводности. Очевидно, что

Выберем так, чтобы был меньше то есть тогда максимальное значение при или при , не будет превосходить , то есть

(при t=0 или x =0, или x=l),

(6)

так как для этих аргументов первое слагаемое формулы (5) не превосходит

а второе .

В силу непрерывности функции она должна в некоторой точке достигать своего максимального значения.

Очевидно, что

Поэтому и так как при или , имеет место неравенство (6). В точке , по аналогии с (4) и (5), должно быть

Учитывая (6), находим:

Отсюда следует, что

то есть уравнение (2) во внутренней точке не удовлетворяется. Тем самым доказано, что решение уравнения теплопроводности (2) внутри области не может принимать значений, превосходящих наибольшее значение на границе (т. е. при ).

Докажем единственность. Максимум и минимум достигается на границе, а следовательно, решение единственное

Функция V (x,t) достигает своего максимального значения или при t= 0, или при x= 0, илипри x=l. Однако, по условию мы имеем:

V (x, 0) = 0, V (0 ,t)=0, V (l,t)=0.

Поэтому
Теорема доказана.

3. Уравнение Лапласа

При исследовании стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является Уравнение Лапласа

где

Функция U называется гармонической в области T, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

При изучении свойств гармонических функций были разработаны различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического (например, уравнение колебаний струны) и параболического типов (например, уравнение теплопроводности). Мы будем искать решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных. Решение краевых задач для уравнения Лапласа может быть найдено методом разделения переменных в случае некоторых простейших областей (круг, прямоугольник, шар, цилиндр и др.). Рассмотрим некоторые из них.