Читайте также:
|
Рассмотрим жидкую идеальную сжимаемую среду. Система уравнений гидродинамики, описывающее изоэнтропическое движение среды включает уравнение движения, уравнение неразрывности и уравнение состояния
(2.1)
где 
- плотность;
P- давление;
- вектор скорости;
оператор Гамильтона;
div- оператор дивергенции.
Если среда является сплошной и однородной, уравнение состояния принимает вид
для жидкости; (2.2)
- для газа, (2.3)
где 
-параметры невозмущенной среды;
, n, 
-константы.
Полагая движение среды потенциальным, введем в рассмотрение потенциал скоростей
Введем обозначения
(2.4)
Для жидкости, учитывая уравнения состояния (2.2), получим:
(2.5)
Для газа, с учетом (2.3)
(2.6)
Давление в жидкости при известном потенциале скоростей определяется выражением
(2.7)
Где 
- невозмущенная скорость звука, равная
- для жидкости;
- для газа.
Для скорости звука получим следующее представление, исходя из выражения
c= 
.
Для жидкости
. (2.8)
Для газа
. (2.9)
Можно показать, что система уравнений (2.1), (2.2) эквивалентна нелинейному волновому уравнению в классе потенциальных течений среды
(2.10)
Используя представление (2.8) для скорости звука, уравнение (2.10) преобразуем к виду
(2.11)
Если в уравнении (2.10) ограничиться удержанием квадратичной нелинейности, то последнее следует записать в виде
. (2.12)
Представляет интерес волновое уравнение с местной скоростью звука, которое получается из (2.11) отбрасыванием правой части
. (2.13)
Уравнение (2.13) эквивалентно уравнению вида
. (2.14)
Уравнение (2.14) похоже на уравнение (2.12), но, с одной стороны, оно содержит член с кубической нелинейностью, а, с другой стороны, в нем отсутствует один из членов с квадратической нелинейностью.
При последовательной линеаризации нелинейного уравнения (2.10) вводится малый параметр
(2.15)
При этом уравнение (2.7) и (2.10) распадаются на рекуррентную систему
(2.16)
(2.17)
В дальнейшем ограничимся рассмотрением симметричных волновых движений акустической среды.
,
Где v=0,1,2;
Отметим, что устремляя в любом из волновых уравнений скорость звука к бесконечности, получим уравнение Лапласа, описывающее движение несжимаемой среды.
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 139 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |