Читайте также: |
|
На практике часто приходится иметь дело с сериями независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие A может появиться или нет. При этом вероятность появления его в каждом опыте известна и она не меняется от опыта к опыту.
Примеры: появление изделий с браком в процессе производства; поступление на вход приемника серии импульсов, отраженных целью. Появление каждого импульса можно рассматривать как опыт, в результате которого импульс либо проходит на выход приемника, либо не проходит из-за помех.
В общем случае задача состоит в том, чтобы определить вероятность появления события A ровно m раз в n опытах и не появления n-m раз. Условимся считать, что вероятность события A в каждом опыте одна и та же и равна p. Следовательно, вероятность не наступления события A в каждом опыте постоянна и равна q=1-p.
Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n опытах событие A наступит m раз и не наступит n-m раз равна (на основании теоремы умножения вероятностей независимых событий).
Так как не требуется, чтобы событие A повторилось ровно m раз в определенной последовательности, то таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по m,т.е. . Поскольку эти сложные события несовместны и их вероятности одинаковы, то искомая вероятность будет равна
, где .
Полученное выражение называют формулой Бернулли.
Пример 3: Пусть n=2: .
Так как , то можно определить вероятность появления события не менее m раз по следующему выражению
, или , или .
В частном случае, когда m=1 получают формулу вероятности появления события хотя бы один раз .
При большом числе опытов n пользоваться приведенными выше формулами неудобно, поэтому используют формулу Лапласа – Гаусса
, где D=n p q.
Вопросы для повторения
1 Каким образом определяется вероятность события при способе непосредственного подсчета?
2 Что называется статистической вероятностью?
3 Какую группу событий называют полной? Приведите пример.
4 При каких условиях опыт относится к схеме случаев?
5 Какие события называются зависимыми, а какие нет? Приведите примеры зависимых и независимых событий.
6 Чему равна вероятность произведения двух событий (зависимых и независимых)?
7 Чему равна вероятность суммы двух событий (совместных и несовместных)?
8 Что называется условной вероятностью?
9 Как записывается формула полной вероятности? Докажите ее.
10 Как записывается формула Байеса? Выведите ее.
11 Придумайте задачи на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса.
12 Объясните, как рассчитать:
вероятность появления события A ровно m раз в n независимых опытах?
вероятность появления события A не менее m раз в n независимых опытах?
вероятность появления события A хотя бы один раз в n независимых опытах?
13 Какая теорема позволяет рассчитывать эти вероятности тем точнее, чем больше n.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 32 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |