Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение. Операции над событиями

Операции над событиями

Часто бывает полезно наглядно представить события в виде диаграммы Эйлера — Венна. Изобразим все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис. 1). При этом, каждый элементарный исход ω соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие A — некоторому множеству точек, этого прямоугольника.

Рис. 1. Изображение диаграммы Эйлера-Венна

Рассмотрим теперь операции над событиями, которые совпадают с операциями над множествами.

Определение

Пересечением (произведением) двух событий A и B называют событие, обозначаемое A ∩ B или AB, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события A и B, т.е. событие, состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и событию A, и событию B.

События A и B называются несовместными, или непересекающимися, если их пересечение является невозможным событием, т.е. если A ∩ B =∅.

События A 1, A 2,…, An называют попарно несовместными, если для любых i ≠ j, где i, j =1, n ¯¯¯¯¯, события Ai и Aj несовместны.

В противном случае события называют совместными, или пересекающимися.

Определение

Объединением (суммой) двух событий A и B называют событие, обозначаемое A ∪ B, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A или B, т.е. событие состоит из элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Если события A и B несовместимы, то для обозначения могут использововать символ «+».

Например, поскольку невозможное событие ∅ несовместно с любым событием A, то

∅∪ A =∅+ A = A.

Аналогично определяют понятия произведения и суммы событий для любого конечного числа событий и даже для бесконечных последовательностей событий. Так, событие

A 1 A 2… An =∩ ni =1 Ai

состоит из элементарных исходов, принадлежащих всем событиям Ai, i =1, n ¯¯¯¯¯, а событие

A 1∪ A 2∪…∪ An =∪ ni =1 Ai

состоит из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий Ai, i =1, n ¯¯¯¯¯.

В частности, события A 1, A 2,…, An называют попарно несовместными, если

AiAj =∅

для любых i, j =1, n ¯¯¯¯¯, i ≠ j, и несовместными в совокупности, если

A 1 A 2… An =∅.