Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Матричные игры

В экономике часто присутствуют ситуации, когда эффективность принятия управленческого решения зависит от того как поведут себя другие участники экономического пространства. Например, какие шаги предпримут конкуренты, или какой товар пользуется на рынке спросом и как наполнена данная производственная ниша.

Ситуации, когда имеются два участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели, изучаются в теории игр. Предполагается, что операция проводится против разумного противника (конкурента), преследующего свои собственные цели и сознательно противо­действующего достижению цели другим участником.

Так как цели противоположны, а результат мероприятия каждой из сторон зависит от действий конкурента, то эти действия называют конфликтными ситуациями. Формализованная модель конфликтной ситуации называется игрой. Игра называется игрой с нулевой суммой (или матричной игрой), если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.

Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш независимо от поведения противника. Результаты игры представляют в виде таблицы решений (или платежной матрицы) (табл. 1).

Таблица 1 - Платежная матрица

Вj	В1	В2	…	Вn
Ai
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a11	a11	…	a11
…	…	…	…	…
Am	a11	a11	…	a11

А₁, А₂, …, А_m - стратегии первого игрока;

В₁, В₂,..., В_n - cтратегии второго игрока;

a_ij - выигрыш первого игрока (и проигрыш второго игрока), если первый игрок выбрал стратегию A_i, а второй игрок выбрал стратегию В_j.

Целью игроков является выбор наиболее выгодных стратегий, при которых первый игрок получит максимальный выигрыш, а второй игрок - минимальный проигрыш. Стратегию первого игрока называют оптимальной, если при ее применении выигрыш первого игрока не уменьшается, какими бы стратегиями ни пользовался второй игрок. Оптимальной для второго игрока называют стратегию, при использовании которой проигрыш второго игрока не увеличивается, какие бы стратегии ни применял первый игрок.

С учетом этого первый игрок анализирует платежную матрицу следующим образом: для каждой своей стратегии A_i он определяет минимальное значение a_i выигрыша в зависимости от применяемых вторым игроком стратегий В_j т. е.

Затем по минимальным выигрышам a_i он отыскивает такую стратегию А_i, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т. е. находит

.

Величина a - гарантированный выигрыш первого игрока - называется нижней ценой игры. Стратегия A_i, обеспечивающая получение выигрыша a, называется максиминной.

Второй игрок при наилучшем своем поведении максимально уменьшает проигрыш. Поэтому для каждой стратегии В_j он отыскивает

,

а затем по β_j находит такую свою стратегию В_j, при которой его проигрыш будет минимальным, т. е.

Величина β называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу β стратегия В_j называется минимаксной.

Для удобства вычислений платежную матрицу дополняют строкой и столбцом, в которые записывают a_i и β_j (табл. 2).

Таблица 2 - Определение верхней и нижней цены игры

В тех случаях, когда a = β, игра имеет седловую точку - элемент матрицы, являющийся одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце. Седловой точке соответствует пара стратегий сторон (), которые являются оптимальными чистыми стратегиями. Величина v = a = β называется чистой ценой игры.

Пример 1. Предприниматель располагает тремя видами товаров – А₁, А₂, А₃, которые он стремится реализовать на рынке, где возможна продажа конкурентом аналогичных товаров - B₁, B₂, В₃ соответственно. Предпринимателю не известно, какой вид товаров преимущественно конкурент будет продавать на рынке, а конкуренту не известно, какие товары предпринимателя на этом рынке появятся. Предприниматель располагает данными о том, какова вероятность продать тот или иной товар при наличии на рынке товаров конкурента. Эти данные записаны в платежную матрицу (табл. 3).

Необходимо дать предпринимателю рекомендации по рациональному выбору вида товаров для продвижения их на рынок в условиях конкуренции, при котором обеспечивается получение наилучшего возможного результата - наибольшей вероятности продаж, что бы ни предпринимал конкурент.

Таблица 3 - Платежная матрица

a = 7; β = 7; a = β, следовательно, игра имеет седловую точку (выделена полужирным). Оптимальной стратегией для первого игрока будет вывод на рынок товара А₂. При этом гарантируется результат (прибыль) не менее 7 д. е. Для конкурента оптимальной стратегией будет продажа товара В₂, при этом он гарантирует себе результат (убыток) не более 7 д. е.

Упрощение игр. Поиск оптимальных смешанных стратегий начинают с упрощения платежной матрицы. Если в платежной матрице все элементы k -й строки не меньше соответствующих элементов s -й строки, то говорят, что стратегия А_k доминирует над стратегией A_s. Аналогично, если все элементы l -го столбца не превосходят соответствующих элементов r -го столбца, то говорят, что стратегия B_l доминирует над стратегией В_r.

Частным случаем доминирования является дублирование стратегий, когда все элементы одной строки (столбца) равны соответствующим элементам другой строки (столбца). Доминируемые стратегии исключают из платежной матрицы, поскольку игрокам заведомо невыгодно пользоваться ими. Это позволяет уменьшить размерность платежной матрицы:

Пример 2. Выполнить возможные упрощения матрицы.

Поскольку соответствующие элементы второй и четвертой строк равны, исключим четвертую стратегию. Элементы первой строки меньше соответствующих элементов второй строки, а элементы пятой строки не превосходят соответствующих элементов третьей строки. Поэтому первую и пятую строки исключаем из матрицы. В итоге получаем матрицу:

В данной матрице элементы первого и второго столбцов больше соответствующих элементов четвертого столбца, поэтому второму игроку выгоднее использовать стратегию В₄, чем B₁ или В_2. В связи с этим доминируемые столбцы B₁ или В₂ следует исключить. Третий столбец доминирует над пятым. В результате приходим к матрице

.

Определение смешанных стратегий. В случае отсутствия седловой точки решением игры является сложная стратегия состоящая в применении двух и более чистых стратегий с определенными частотами. Смешанная стратегия обозначается , где p_i - вероятности применения чистых стратегий . При этом , , i =1,…, m.

Цена игры v - средний выигрыш, приходящийся на одну партию, всегда удовлетворяющий условию: a < v < β.