Читайте также:
|
Важным следствием линеаризации является то, что анализ реакции цепи на приращения относительно режима покоя – это задача при нулевых начальных условиях.
При нулевых начальных условиях применение одностороннего преобразования Лапласа
приводит к замене операции дифференцирования и интегрирования по времени к операции умножения или деления на переменную р:
(2.12)
В результате дифференциальное уравнение, определяющее связь «вход-выход» цепи, трансформируется в алгебраическое в функции от р:
y (p) = x (p) × K (p), (2.13)
где 
– передаточная функция цепи.
Переход от изображения реакции цепи к оригиналу (обратному преобразованию Лапласа L –1[ у (р)]) может быть проведен на основании интеграла свертки.
В теории преобразования Лапласа доказано, что, если y (p) =A (p) × B (p), а A (t), B (t) – оригиналы А (р) и В (р):
то имеет место равенство
, (2.14)
которое и называется интегралом свертки.
На основании интеграла свертки можно, зная реакцию цепи на некоторый тестовый сигнал, определить реакцию цепи на любой сигнал. В качестве тестового сигнала может, например, выступать дельта-функция d(t) – импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности. По определению дельта-функции площадь под кривой d(t) равна единице: 
.
Хотя дельта-функция является математической абстракцией, ее введение позволяет во многих случаях упростить анализ.
Поскольку изображение по Лапласу дельта-функции
,
то реакция цепи на дельта-функцию есть оригинал передаточной функции и называется импульсной характеристикой цепи:
K(t) = L–1[K(p)].
Для произвольного сигнала x (t) имеем
y(p) = x(p) × K(p),
и на основании (2.14) получаем
(2.15)
Соотношение (2.15) означает, что, зная импульсную характеристику цепи k (t), можно определить реакцию цепи на любой сигнал x (t).
Реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие x (t) = 1 = 1(t)(t ³ 0) называется переходной характеристикой цепи h (t).
Поскольку изображение по Лапласу единичной функции
,
то реакция системы на единичное воздействие будет равна
h (p) = 1(p) × K (p) = 
,
тогда переходная характеристика
.
Для произвольного сигнала x (t) реакция цепи
y (p) = x (p) × K (p).
Проведем очевидное преобразование этого выражения:
На основании свойств преобразования Лапласа оригиналы
Тогда на основании интеграла свертки и свойства линейности преобразования Лапласа получим
(2.16)
Соотношение (2.16) называется интегралом Дюамеля и позволяет по известной переходной характеристике цепи h (t) определить реакцию на любой сигнал.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 71 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |