Читайте также:
|
3.1. На чемпионате по гимнастике выступают 50 спортсменов, среди них 6 спортсменов из Китая. Спортсменам по жребию дали номера – от 1-го до 50-го. Найдите вероятность того, что под номером 37 будет выступать гимнаст из прыгун из Китая.
В этой задаче исход – это спортсмен, которому достался 37-й номер. Всего исходов – 50. То, что говорится о 37-м номере, а не о, скажем, первом нас не смущает. У всех спортсменов равные шансы получить этот номер! Успешных исходов – 6 (спортсмены из Китая). Дальше – сами 
3.2. Завод выпускает часы. В среднем на 1800 качественных часов приходится 200 часов со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленные часы, сделанные на этом заводе, окажутся с дефектом.
В этой задаче – одна тонкость и одна ловушка (несложная).
Тонкость связана со словами «в среднем». По-хорошему, количество исходов, - это количество доступных покупателю часов этого завода. Количество «успехов» - количество доступных ему дефектных часов. Ни того, ни другого мы не знаем. Так в жизни бывает часто.
И часто поступают так.
1) Выбирают наугад достаточно большую группу часов, обозначим ее размер N.
2) Считают количество дефектных часов (т.е. успешных исходов) в этой группе, обозначим его G.
3) Вычисляем вероятность успеха по формуле (P – вероятность):
P = G/N
То есть, мы считаем, что вероятность успеха среди всех исходов (примерно) такая же, как и в выбранном наугад подмножестве всех исходов. Такое предположение выглядит разумно и может быть обосновано (если аккуратно разбираться, что значит «наугад», насколько большое подмножество нужно выбирать и насколько вероятность успеха для множества всех исходов может отличаться от вероятности, подсчитанной по подмножеству).
Слова «в среднем» и означают, что нужно применить такой подход. При этом в выбранном множестве исходов будет 1800 «неуспехов» (качественных часов ) и 200 «успехов (дефектных часов). Ловушка в том, что общее количество исходов N здесь не указано. Его нужно подсчитать: N = 1800+200 = 2000. Таким образом, вероятность здесь считается по формуле P = G/N = 200/2000 = 0,1 = 10%/
Ответ: 0,1
4. События, их пересечения, объединения и дополнения.
Задача. В торговом центре два одинаковых автомата продают чай. Вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится, равна 0,4. Вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах.
Задача действительно трудная. А трудность в том, чтобы разобраться, что означают слова «вероятность того, что к концу дня в автомате чай закончится»; «вероятность того, что к концу дня чай закончится в обоих автоматах»; «вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах».
Формула 1-0,2=0,8 означает, что события «к концу дня чай закончился в обоих автоматах» и «к концу дня чай остался в обоих автоматах» являются взаимно дополнительными, то есть в любой день происходит ровно одно из этих событий и они никогда не происходят одновременно. На самом деле, одновременно эти события, конечно произойти не могут, но может не произойти ни одно из них: в одном автомате чай может закончиться, а в другом – нет. Поэтому вероятность того, что к концу дня чай останется в обоих автоматах, заведомо меньше, чем 1-0,2=0,8. Насколько меньше – нужно разбираться.
Решение. Возьмем какой-то день. Для удобства, присвоим автоматам имена A и В. К концу дня может случиться ровно одно из четырех событий (говорят: эти события образуют полную систему)
1) Чай закончился в обоих автоматах (обозначение: А+В+)
2) Чай закончился в автомате А, но остался в автомате В (обозначение: А+В-)
3) Чай закончился в автомате В, но остался в автомате А (обозначение: А-В+)
4) Чай остался в обоих автоматах (обозначение: А-В-).
Обозначим вероятности этих событий соответственно: Р(А+В+), Р(А+В-), Р(А-В+), Р(А-В-).
Так, как перечисленные события образуют полную систему, то
Р(А+В+) + Р(А+В-) + Р(А-В+) + Р(А-В-) = 1 (1)
Событие «чай закончился в автомате А» - это объединение двух дополнительных событий Р(А+В+) и Р(А+В-). Поэтому
Р(А+В+) + Р(А+В-) = 0,4 (2)
Аналогично, для автомата В получаем:
Р(А+В+) + Р(А-В+) = 0,4 (3)
Наконец, по условию,
Р(А+В+) = 0,2 (4)
Нужную нам вероятность Р(А-В-) находим, решая систему (1)-(4).
Р(А-В-) = Р(А+В+) + Р(А+В-) + Р(А-В+) + Р(А-В-) –
- (Р(А+В+) + Р(А+В-)) - (Р(А+В+) + Р(А+В-)) +
+ Р(А+В+) =
= 1 -0,4 -0,4 +0,2 = 0,4.
Ответ:0,4
Замечание. Чтобы решать такие задачи, нужно уметь свободно рассуждать о событиях – множествах возможных элементарных исходов. В нашей задаче элементарные исходы – это дни. Например, событие А+В- - это множество всех дней, в которые чай в автомате А закончился, а в автомате В – нет. Про подсчет количества элементов в объединении и пересечении множеств – см. http://ege-go.ru/temy/sets/.
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 99 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |