Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Математический анализ.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Калмыцкий государственный университет»

Факультет математики, физики и информационных технологий

УТВЕРЖДЕНА

Решением Ученого совета

Факультета МФИТ

Протокол от 24 сентября 2014 г. №

И.о. декана Сумьянова Е.В.

ПРОГРАММА

ИТОГОВОГО МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010101.65 «МАТЕМАТИКА» в 2015 ГОДУ

Алгебра. Линейная алгебра и геометрия

Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Операции над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корней из комплексных чисел.

Векторное пространство. Подпространство. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность. Координаты вектора и матрица перехода. Линейные отображения и матрицы, собственные числа и векторы, характеристический многочлен. Вещественное евклидовое пространство. Скалярное произведение векторов и его свойства. Неравенство Коши–Буняковского. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации.

Операции над матрицами. Ранг матрицы. Обратимые матрицы. Определитель квадратной матрицы и его разложение по строке или столбцу.

Системы линейных алгебраических уравнений. Пространство решений однородной системы, его размерность и базис, общее решение. Критерий существования ненулевого решения однородной системы. Неоднородные системы, частное и общее решения.

Многочлены от одной переменной с комплексными коэффициентами. Операции над многочленами. Корень многочлена, простые и кратные корни. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Случай многочленов нечетных степеней с вещественными коэффициентами.

Вещественные квадратичные формы. Канонический вид. Определенные и неопределенные квадратичные формы. Закон инерции для вещественных квадратичных форм.

Вопросы к экзамену:

1. Критерий обратимости матрицы и формула для обратной матрицы.

2. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому.

3. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

4. Разложение многочленов с комплексными и вещественными коэффициентами. Формулы Виета.

5. Закон инерции вещественных квадратичных форм.

6. Собственные числа и собственные векторы матрицы и их свойства

7. Теорема Гамильтона – Кели.

Математический анализ.

Действительные числа. Аксиоматика множества действительных чисел. Последовательность в Rⁿ, n≥1, ограниченные и неограниченные последовательности в Rⁿ. Предел, частичный предел, предел последовательности в Rⁿ. Их существование и свойства. Сходящиеся и расходящиеся последовательности в R¹. Верхний, нижний предел последовательности в R¹. Теорема о пределе монотонной последовательности. Способы вычисления пределов последовательности в R¹ и в Rⁿ , n≥2. Примеры вычисления пределов последовательности .

Функция f: Rⁿ →Y( R). Понятие инъективной, сюръективной, биективной функции. Определение предела функции в точке на языке «ε-N» и языке последовательностей (теорема Гейне). Определение непрерывной в точке функции на языке «ε-N» и языке пределов. Локальные свойства функции, имеющих в точке конечный предел: единственность предела, локальная ограниченность. Определение непрерывной на множестве функций. Понятие монотонной функции. Теорема о пределе монотонной на (a,b) функции. Понятие компакта в Rⁿ . Свойства непрерывных на компакте функции: I и II теоремы Вейерштрасса, теорема Кантора. Дифференцируемость в точке ф.м.п. f: Rⁿ → R, ее производная и дифференциал в точке. Связь между дифференцируемыми и непрерывными в точке функциями. Свойства дифференцируемых на промежутке функций: теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа о конечном приращении. Понятие монотонной функции. Достаточные условия монотонности функции на промежутке. Правило Лопиталя, раскрытие неопределенности при вычислении предела функции. Дифференцируемость в точке ф.м.п. f: Rⁿ → R и отображения f: Rⁿ → Rⁿ. Частная производная и дифференциал в точке функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости ф.м.п. в точке. Понятие непрерывной дифференцируемости ф.м.п. и отображения в точке. Теорема о дифференцируемости суперпозиции. Теорема о совпадении смешанных производных.

Определение неопределенного интеграла.Определение интеграла Римана (определенного интеграла) от функции на отрезке П =[a,b] в R¹ и параллелепипеде П в Rⁿ. Необходимое условие интегрируемости функции по Риману. Суммы Дарбу и критерии Дарбу интегрируемости функции на П. Свойство аддитивности интеграла Римана с переменным верхним пределом. Его свойства. Множество, измеримое по Жордану в Rⁿ, его мера. Жордановы нуль-множества и их свойства. Определение функции, интегрируемой по Риману на Жордановом множестве. Формула Ньютона–Лейбница для интеграла Римана по отрезку. Метод сведения интеграла Римана по параллелепипеду П в Rⁿ, n-кратного интеграла к повторным, теорема Фубини.

Определение несобственного интеграла с единственной особой точкой, его сходимость. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов с одной особой точкой. Определение сходимости несобственного интеграла с конечным числом особых точек, корректность определения, его абсолютная и условная сходимость. Определение несобственного интеграла, зависящего от параметра. Поточечная и равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра на множестве. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Примеры Г-функций и В-функций Эйлера.

Числовой ряд. Его сходимость (расходимость). Признаки сравнения Коши, Даламбера, сходимости рядов с неотрицательным общим членом. Определение абсолютно и условно сходящихся рядов. Свойства сходящихся рядов: теорема об арифметических операциях, переместительное свойство, сочетательное свойств. Знакопеременные ряды, признак Лейбница.

Понятие функционального ряда {f_n(x)}, f_n: R¹ → R¹. Поточечная и равномерная сходимость функционального ряда на множестве. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Понятие ряда Фурье от функции, определенной на [-π;π] по классической тригонометрической системе. Коэффициенты Фурье. Разложение функций в ряды Фурье только по sin или cos кратных дуг.

Вопросы к экзамену:

1. Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке вещественной функции одной переменной
2. Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости вещественной функции от одной переменной
3. Теорема о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.
4. Теорема о сходимости абсолютно сходящего несобственного интеграла.
5. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося числового ряда.
6. Формула Грина как основная формула анализа.
7. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

1. ТФКП.

Дифференцируемость функции комплексного переменного. Аналитические функции. Интегрирование ф.к.п. Сведение интеграла к криволинейным интегралам 1,2 рода. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши для простого и сложного контуров. Интеграл типа Коши. Теорема Морера. Принцип максимальности модуля. Лемма Шварца. Теорема единственности.

Степенной ряд, круг и радиус сходимости. Теорема Абеля. Примеры разложения в степенной ряд функций: е^z, sin z, cos z, ln(1+z), (1+z)^μ, sh z, chz.

Понятие изолированной особой точки однозначного характера для аналитической функции (и.о.т.о.х). Критерий устранимой и.о.т.о.х, полюса, существенно особой точки. Теорема Сохоцкого. Ряд Лорана функции, теоремы о вычетах. Применение теории вычетов к вычислению определенных интегралов типа: , , .

Дробно-линейная функция (д.л.ф.), как пример функции, отображающей конформно расширенную комплексную плоскость на себя. Основные свойства д.л.ф. Элементарные функции 1/2 (z+1/z). Примеры конформного отображения областей элементарными функциями. Многозначные функции z^1/n, Ln z, Arcsin z, Arctg z. Понятие об аналитическом продолжении.

Вопросы к экзамену:

1. Дробно-линейная функция и конформные отображения.