Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функциональный анализ

Понятие о мощности множества. Свойства счетных множеств. Множества мощности континуума. Примеры счетных множеств и множеств мощности континуума. Определение метрического пространства. Примеры:Rⁿ, C^n,, m, c, S, l , С[a,b], L [a,b]. Сходящиеся последовательности элементов метрического пространства, их свойства. Открытые и замкнутые в метрическом пространстве множества. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства. Примеры полных и неполных пространств. Тоерма Бэра. Теорема о вложенных шарах. Меры на кольцах и алгебрах. Мера Лебега и ее свойства. Мера Лебега – Стилтьеса. Измеримые функции и их свойства. Сходимость почти всюду и сходимость по мере. Теорема Егорова. Теоремы Лебега и Рисса о сравнении сходимости почти всюду и по мере.

Интеграл Лебега от простой функции. Интеграл Лебега от произвольной измеримой функции. Свойства интеграла Лебега. Полная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

Примеры сепарабельных и несепарабельных метрических пространств. Сепарабельные метрические пространства.

Компактные и предкомпактные множества в метрических пространствах, их свойства. Критерий компактности Хаусдорфа. Критерий компактности в Rⁿ, C^n,, m, c, S, l , С[a,b], L .

Нормированные пространства. Банаховые пространства. Примеры. Непрерывность линейных операций и нормы. Ряды в нормированных пространствах, сходимость и абсолютная сходимость, связь с полнотой пространства. Базис Шаудера. Фактор –пространства. Линейные непрерывные операторы в банаховых пространствах. Примеры непрерывных операторов. Норма оператора. Теорема Банаха –Штейнгауза (принцип равномерной ограниченности). Обратимые операторы. Теоремы о существовании обратных операторов.

Линейные непрерывные функционалы. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространствах Rⁿ, C^n,, m, c, S, l , С[a,b], L .

Теорема Хана - Банаха. Сопряженные пространства. Рефлексивные пространства. Евклидовы и унитарные пространства. Гильбертовы пространства. Примеры.

Ортогональность. Теорема об ортогональном разложении гильбертова пространства. Ортонормированные системы. Процесс ортогонализации Шмидта. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Полнота и замкнутость ортонормированных систем. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Резольвента и спектр линейного оператора. Точечный непрерывный и остаточный спектр. Ограниченность, замкнутость и непустота спектра. Спектральный радиус. Тождество Гильберта. Спектр сопряженного оператора.

Компактные операторы. Примеры. Свойства компактных операторов. Компактность интегрального оператора в С[a:b]. Спектр компактного оператора.

Вопросы к экзамену: