Читайте также:
|
Предположим, что цена игры положительна (u > 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число с, прибавление которого ко всем элементам матрицы выигрышей даёт матрицу с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные стратегии обоих игроков не изменяются.
Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m х n. Согласно свойству 7 оптимальные смешанные стратегии х = (х1,..., хm), y = (y1,..., yn) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры u должны удовлетворять соотношениям.
(1)
(2)
Разделим все уравнения и неравенства в (1) и (2) на u (это можно сделать, т.к. по предположению u > 0) и введём обозначения:
Тогда (1) и (2) перепишется в виде:
Поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi, чтобы цена игры u была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений pi , при которых
(3)
Поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры u была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений qj, , при которых
(4)
Формулы (3) и (4) выражают двойственные друг другу задачи линейного программирования (ЛП).
Решив эти задачи, получим значения pi , qj и u. Тогда смешанные стратегии, т.е. xi и yj получаются по формулам:
(5)
Пример: Найти решение игры, определяемой матрицей.
Решение. При решении этой игры к каждому элементу матрицы А прибавим 1 и получим следующую матрицу
Составим теперь пару взаимно-двойственных задач:
Вторая решается симплекс-методом.
Из оптимальной симплекс-таблицы следует, что 
.
q1, q2, q3) = (0; 
; 1), а из соотношений двойственности следует, что
(p1, p2, p3) = (; 1; 0).
Следовательно, цена игры с платёжной матрицей А1 равна
а игры с платёжной матрицей А:
При этом оптимальные стратегии игроков имеют вид:
Х = (х1, х2, х3) = (uр1; uр2; uр3) = 
= 
Y = (y1, y2, y3) = (uq1; uq2; uq3) = 
= 
Дата добавления: 2015-04-20; просмотров: 76 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
|