Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Точки разрыва функции и их классификация

Читайте также:
  1. A1. Сущность и классификация организаций. Жизненный цикл организации и специфика управления на различных его этапах.
  2. I. Классификация по контингенту учащихся.
  3. I.Социальные функции физической культуры и спорта.
  4. II. Классификация инвестиций
  5. II. Классификация методов исследования ППО
  6. II. Контрольная работа « Дифференцирование функции ».
  7. Quot;Ссылки. Встроенные функции MS Excel ".
  8. Quot;Уже 2 дня прошло, а от нее даже весточки. Вот Анара вся в…" – опустила голову и закрыла глаза.
  9. VI. Строение, обмен и функции липидов.
  10. WEB-браузер - назначение, основные функции, программная реализация, методы обмена информацией с расширениями сервера.

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля,

еорема 5. Если при x→a (или x→∞) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b, то этот предел не может быть отрицательным: b≥0. –

 

Точки разрыва функции и их классификация

‚Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если х = х 0 - точка разрыва функции y = f (x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель не равен нулю).

Теорема 2. Пусть функции u = φ (x) непрерывна в точке х 0, а функция y = f (u) непрерывна в точке u = φ (x0). Тогда сложная функция f (φ (x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х 0.

Теорема 3. Если функция y = f (x) непрерывна и строго монотонна на [ a;b ] оси Ох, то обратная функция у = φ (x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [ c; d ] оси Оу.

_ Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

 

5 Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь — бесконечно малая величина, а — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту. Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

limα→0sinαα=1(1)

Так как при α→0 имеем sinα→0, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида 00. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной α под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, – лишь бы выполнялись два условия:

1. Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида 00.

2. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.

 

7 На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал

8 Производные высшего порядка явно заданной функции

Пусть функция y = f (x) имеет конечную производную f ' (x) в некотором интервале (a, b), т.е. производная f ' (x)также является функцией в этом интервале. Если эта функция дифференцируема, то мы можем найти вторую производную исходной функции f, которая обозначается в виде




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== 1 ==> | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав