Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Наближене обчислення визначених інтегралів.

У багатьох випадках для обчислення визначеного інтеграла ми не маємо можливості користуватися формулою Ньютона–Лейбніца, оскільки первісні від підінтегральних функцій не завжди можна виразити і елементарних функціях. З одним таким прикладом ми вже зустрілися, коли намагалися обчислити довжину дуги еліпса. Існує велика кількість інших функцій, наприклад

,

первісні від яких також не можна виразити в елементарних функціях. В таких випадках (і не тільки в таких) інтеграли обчислюють наближено. Існує велика кількість так званих квадратурних формул, тобто формул для наближеного обчислення інтегралів. Познайомимось з деякими з них. Ідея їх використання полягає у тому, що графік підінтегральної функції замінюється новою лінією, більш простою, але близькою до заданої. І замість криволінійної трапеції, яку обмежено графіком функції , ми отримуємо іншу фігуру, «близьку» до неї, але площа якої обчислюється простіше.

1. Формула прямокутників.

Нехай треба обчислити інтеграл

(8.10.1)

від неперервної на відрізку функції .

Поділимо відрізок на рівних частин точками , де , , . Позначимо . На кожному з частинних відрізків побудуємо прямокутник, основою якого є цей частинний відрізок, а висота дорівнює – значенню функції у лівій межі частинного відрізка (рис. 8.27).

Рис. 8.27.

Площа цього прямокутника дорівнює:

.

Внаслідок такої побудови дістанемо ступінчату фігуру, площа якої наближено дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції . Таким чином площа цієї фігури і буде наближеним значенням інтеграла (8.10.1):

. (8.10.2)

Формула (8.10.2) називається формулою лівих прямокутників.

Побудуємо тепер на кожному відрізку прямокутник, висота якого дорівнює значенню функції у правій межі відрізку , тобто (рис. 8.28):

Рис. 8.28

Тоді дістанемо формулу правих прямокутників:

. (8.10.3)

Нарешті, якщо висотами прямокутників будуть значення функції у серединах відрізків, тобто (рис. 8.29), то дістанемо формулу середніх прямокутників:

Рис. 8.29.

. (8.10.4)

2. Формула трапецій.

Замінимо тепер графік функції ламаною лінією, з’єднавши точки з координатами відрізками прямих (рис.8.30)

Рис. 8.30.

Тоді на кожному частинному відрізку буде побудовано трапецію. Площа трапеції, побудованої на відрізку , дорівнює:

.

За наближене значення інтеграла (8.10.1) беремо суму площ всіх трапецій, тобто:

. (8.10.5)

Формула (8.10.5) називається формулою трапецій.

3. Формула парабол (Сімпсона [2]).

У формулах прямокутників і трапецій ми замінювали графік функції відрізками прямих ліній. Щоб підвищити точність, використаємо криву лінію, наприклад, параболу.

Спочатку доведемо, що через три різні точки , , , які не лежать на одній прямій, можна провести параболу і лише одну.

Дійсно, підставляючи координати точок у рівняння параболи, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів , , :

(8.10.6)

Визначник цієї системи

є визначником Вандермонда (див. розділ «Елементи лінійної алгебри»), і він дорівнює . Тому система (8.10.6) має єдиний розв’язок, а це означає, що коефіцієнти параболи визначаються однозначно.

Розв’яжемо систему (8.10.6) для точок , , . Дістанемо:

.

Знайдемо площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою, що проходить через точки , і прямими (рис. 8.31).

Рис. 8.31.

.

Розглянемо тепер криволінійну трапецію, обмежену кривою . Якщо через точки

провести параболу, то по доведеному:

, (8.10.7) де . Але якщо відрізок досить великий, то формула (8.10.7) буде давати значну похибку. Тоді розіб’ємо відрізок на парне число однакових частин, а криволінійну трапецію на частинних криволінійних трапецій і до кожної з них застосуємо формулу (8.10.7).

Додаючи почленно отримані таким чином наближені рівності, дістанемо формулу Сімпсона:

. (8.10.8)

Можна довести, що якщо функція має другу неперервну похідну, і , то похибка формул (8.10.2) – (8.10.5) не перевищує величини

,

а похибка формули (8.10.8) – величини

.

Приклади.

1. Продемонструємо спочатку застосування формул (8.10.2), (8.10.5), (8.10.8) на прикладі інтеграла, який обчислюється точно:

(перевірте самостійно), що наближено (з 5 знаками після коми) дорівнює 0.60948.

Розіб’ємо відрізок на 10 рівних частин точками і складемо таблицю, до якої занесемо та .

	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,10050 0,20396 0,31321 0,43081 0,55902 0,69971 0,85446 1,02450 1,21083 1,41421

Застосування формули лівих прямокутників (8.10.2) дає результат:

.

Застосування формули трапецій (8.10.5) дає результат:

.

Застосування формули Сімпсона (8.10.8) дає результат:

.

Як бачимо, з розглянутих формул найточніший результат дає формула Сімпсона.

2. Розглянемо тепер інтеграл від функції, первісна від якої не виражається в елементарних функціях:

.

Розіб’ємо відрізок на 10 рівних частин точками і складемо таблицю, до якої занесемо та :

Застосування до цього інтеграла формули Сімпсона дає результат

.

Помилка цього результату не перевищує 0,000012.

	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	1,00005 1,00080 1,00404 1,01272 1,03078 1,06283 1,11360 1,18727 1,28690 1,41421