Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Свойства пределов функции.

Определение:

Последовательность называется финально постоянной, если $ AО R и $ N, что для всех n>N x_n = A.

Свойство 1: Пределы конечного числа функции равен сумме пределов, если пределы функции существуют.

1)lim(f(x)+g(x)) (при x→a, x→∞) = lim f(x) (при x→a, x→∞)+ +lim g(x) (при x→a, x→∞);

2) lim f(x)=b₁ (при x→a, x→∞)

lim (f(x)+g(x)) (при x→a, x→∞)=b₁+b₂

lim g(x)=b₂ (при x→a, x→∞)

По первому свойству б.м. (обратная теорема) имеем что: f(x)=b₁+α(x)

g(x)=b₂+β(x)

Следовательно f(x)+g(x)=b₁+b₂+α(x)+ β(x); γ(x)= α(x)+ β(x)

f(x)+g(x)=b₁+b₂+γ(x)=> по I свойству бесконечно малых(прямая теорема), что lim (f(x)+g(x)) (при x→a, x→∞)=b₁+b₂ – бесконечно мало.

lim (sin²x+cos²x) (при x→∞)≠lim sin²x(при x→∞)+lim cos²x(при x→∞)[Таких не существует].

Свойство 2:

Предел произведения конечного числа сомножителей равен произведению пределов этих сомножителей, если последние существуют.

Доказательство для n=2. Пусть ; , тогда u₁=а ₁ +a₁, u₂=а ₂ +α₂, где α₁→0, α₂→0 при х→х₀, и u₁·u₂=(а ₁+ а ₂ ) · ( α₁+α₂ ) = а ₁ а ₂+ α₁а₂ + α₂а₁ +α₂α₁, где а₁а₂=const, α₁а₂→0, α₂ а ₁ →0, α₂α₁ →0 при х→х₀. По теореме о связи функции с ее пределом будем иметь, что

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Свойство 3: Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

.

Свойство 4: Если между соответствующими значениями функций u(x), v(x), ω(x) выполняются неравенства u(x)≤v(x)≤ω(x), при этом u(x), ω(x) при х→х₀ стремятся к одному и тому же пределу а, то функция v(x) при х→х₀ стремится к этому же пределу.

Свойство 5: Если функция у=f(x) принимает неотрицательные значения, то есть f(x)≥0, и имеет предел равный а, то этот предел тоже неотрицателен, то есть а ≥ 0.

Свойство 6: Если между соответствующими значениями функций u(x), v(x), имеющих предел при х→х₀, выполняется неравенство u(x)≤v(x), то .