Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Сравнения бесконечно малых функций, основные эквивалентности.

Теорема 1:

Эквивалентные б.м.ф. при x→a:

1)если α(x) и β(x) – б.м.ф., то их разность есть б.м. более высокого порядка малости чем каждое из них;

2)Функция называется эквивалентной если lim(α(x)/ β(x))=1(при x→a).

Теорема 2:

Если разность двух б.м.ф. есть б.м. более высокого порядка малости, чем каждая из них, то эти функции б.м. эквивалентны.

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же x→a величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности). Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β=0(α)или β≺α. Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α =0(β)или α≺β. Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений β=0(α)и α =0(β). Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа. Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Основные эквивалентности:

sinx~х при х→0; tgx~х (х→0); arcsinх ~ х (х→0);

arctgx~х (х→0); 1cosx~x²/2 (х→0); е^х-1~х (х→0);

α^х-1~х*ln(a) (х→0); ln(1+х)~х (х→0);

ln(l+х)~х (х→0); (1+х)^k-1~k*х, k>0 (х→0);