Читайте также: |
|
Предположим, что нам даны две плоскости, отнесенные к прямоугольным координатам и .
Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области и с контурами и соответственно.
Пусть в области задана система функций
.
Будем считать, что и являются однозначными функциями и и более того, система уравнений однозначно разрешима относительно и , т.е. и являются однозначными функциями и .
.
Тем самым между областями и устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Говорят, что формулы осуществляют преобразование области в область ; а формулы дают обратное преобразование. При этом, точкам контура соответствуют точки контура и наоборот.
Предположим, что функции имеют в непрерывные частные производные первого порядка. Тогда функциональный определитель (якобиан) является непрерывной функцией двух переменных и в области .
Будем считать, что этот определитель не равен нулю и, следовательно, сохраняет постоянный знак в силу непрерывности.
Задание пары значений и в области в то же самое время однозначно определяет некоторую точку в области ; в силу этого числа ( и ) (помимо и ) можно считать координатами точек в области .
Определение. Кривую, составленную из точек области , у которых одна из координат или сохраняет постоянное значение, называют координатной линией.
Если в положить , получим параметрическое представление координатной линии . (Роль параметра играет .)
Неявное уравнение той же линии можно получить, полагая во втором уравнении системы : .
В связи с тем, что координатные линии на плоскости вообще говоря, будут кривыми, то числа и , характеризующие положение точки на плоскости, называются криволинейными координатами точки.
Придавая различные значения, получим на плоскости семейство координатных линий. Фиксируя значение , получим другое семейство координатных линий. При наличии взаимнооднозначного соответствия между рассматриваемыми областями, различные линии одного и того же семейства не пересекаются, и через любую точку области проходит по одной линии из каждого семейства.
Вся сетка координатных линий на плоскости является изображением сетки прямых ; на плоскости .
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |