Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Криволинейные координаты

Предположим, что нам даны две плоскости, отнесенные к прямоугольным координатам и .

Рассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области и с контурами и соответственно.

Пусть в области задана система функций

.

Будем считать, что и являются однозначными функциями и и более того, система уравнений однозначно разрешима относительно и , т.е. и являются однозначными функциями и .

.

Тем самым между областями и устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Говорят, что формулы осуществляют преобразование области в область ; а формулы дают обратное преобразование. При этом, точкам контура соответствуют точки контура и наоборот.

Предположим, что функции имеют в непрерывные частные производные первого порядка. Тогда функциональный определитель (якобиан) является непрерывной функцией двух переменных и в области .

Будем считать, что этот определитель не равен нулю и, следовательно, сохраняет постоянный знак в силу непрерывности.

Задание пары значений и в области в то же самое время однозначно определяет некоторую точку в области ; в силу этого числа ( и ) (помимо и ) можно считать координатами точек в области .

Определение. Кривую, составленную из точек области , у которых одна из координат или сохраняет постоянное значение, называют координатной линией.

Если в положить , получим параметрическое представление координатной линии . (Роль параметра играет .)

Неявное уравнение той же линии можно получить, полагая во втором уравнении системы : .

В связи с тем, что координатные линии на плоскости вообще говоря, будут кривыми, то числа и , характеризующие положение точки на плоскости, называются криволинейными координатами точки.

Придавая различные значения, получим на плоскости семейство координатных линий. Фиксируя значение , получим другое семейство координатных линий. При наличии взаимнооднозначного соответствия между рассматриваемыми областями, различные линии одного и того же семейства не пересекаются, и через любую точку области проходит по одной линии из каждого семейства.

Вся сетка координатных линий на плоскости является изображением сетки прямых ; на плоскости .