Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Начально-краевая задача.

Постановка задачи.

(1)

Пусть в

(2)

Это условие выражает тот факт, что уравнение (1) принадлежит в гиперболическому типу.

Рассмотрим следующую задачу.

Определить в решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

(3)

и одному из граничных условий

(4)

или

(5)

– нормаль к в т.

Задачи (1), (3), (4) и (1), (3), (5) называются начально-краевыми или смешанными.

Единственность решения начально-краевой задачи.

Для простоты ограничимся уравнением

(6)

где непрерывные функции причем Рассмотрим для (6) задачу:

Найти в прямоугольнике решение уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям

(7)

и граничным условиям

(8)

причем

Докажем единственность решения (6)-(8) в классе дважды непрерывных дифференцируемых функций в прямоугольнике .

Предположим, что существует два решения и начально-краевой задачи (6)-(8). Тогда их разность будет удовлетворять однородному уравнению

(9)

нулевым начальным условиям

(10)

и однородным граничным условиям

(11)

Покажем, что в

Рассмотрим «интеграл энергии», т.е. выражение вида

(12)

В начальный момент , в силу начальных условий (10), имеем . Покажем далее, что есть величина постоянная на любом решении уравнения (9), удовлетворяющем граничным условиям (11). Действительно, дифференцируя (12), получим

.

Интегрируя средний член по частям, будем иметь

.

Отсюда, в силу уравнения (9) и граничных условий (11) следует, что но следовательно Тогда как при t=0 в силу (10), то в ч. т. д.

Замечание. Единственность решения начально-краевой задачи имеет место и в том случае, если граничные условия (8) заменить более сложными

(13)

(Доказать самим).

Непрерывная зависимость решения начально-краевой задачи от начальных данных.

Теорема. Пусть мы имеем 2 решения и уравнения (6) в прямоугольнике , удовлетворяющих одним и тем же граничным условиям (8) и

Если разности и первая производная всюду достаточно малы по абсолютной величине, то разность

сколь угодно мала по абсолютной величине на всем .

Доказательство. Функция удовлетворяет однородному уравнению

(14)

однородным граничным условиям

(15)

и начальным данным

(16)

Рассмотрим снова интеграл энергии

, (17)

который, как было показано ранее, сохраняет постоянное значение на любом решении уравнения (14), удовлетворяющем граничным условиям (15). Таким образом, мы имеем, или в силу начальных данных (16),

.

Пусть .

Тогда

или в силу малости правой части, найдем, что при

Отсюда,

Имеем

таким образом, - мало на всем прямоугольнике , ч. т. д.