Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Взаимная индукция

Рассмотрим два контура с токами I₁ и I₂ (рис. 8.7), расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Ток в первом контуре созда­ет магнитное поле, поток yкоторого через второй контур, очевидно, пропорционален силе тока I₂

y₂ = L₂₁ I₁ (8-38)

Аналогично, магнитный поток Ф₁ через первый контур поля, создавае­мого током во втором контуре, пропорционален силе тока I₂.

y₁ = L₁₂I₂ (8.39)

Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называются взаимной ин­дуктивностью, или коэффициентами взаимной индукции. Они зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, в которой находятся контуры.

Рис. 8.7. Взаимная индукция

Рассмотрим простой пример. Пусть на одном цилиндрическом каркасе имеется две обмотки, образующие два соленоида одинаковой длины l(рис. 8.8). Число витков одного соленоида равно N₁, а второго - N₂. Найдем коэффициенты L₁₂ и L₂₁ для этой системы.

Рис. 8.8. К вычислению коэффициента взаимной индукции

Предредположим, что в первом соленоиде течет ток I₁, а во втором - 1₂. В силу (7.17) напряженность магнитного поля тока h внутри соленоида

H₁ = N₁I₁/l

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков 2 соленоида

Ф₂ = B₁S = m N₁I₁S/l

Так как поле внутри соленоида однородно, потоки через все витки оди­наковы. Поэтому потокосцепление

y₂ = N₂ Ф₂ = B₁S = m N₁ N₂ I₁S/l

L₂₁ = m N₁ N₂ S/l

Аналогично, напряженность поля, создаваемого током I₂, будет

Н₂ = N₂I₂/l

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков первого соленоида

Ф₁ = B₂S = m N₂I₂S/l

Ф1 =

y₂ = N₁ Ф₁ = m N₁ N₂ I₂S/l

Отсюда найдем, что

L₂₁ = L₁₂ (8.41)

Это равенство справедливо для двух любых контуров и составляет со­держание теоремы взаимности.

Вычислим энергию магнитного поля двух соосных соленоидов. Векто­ры напряженности полей, создаваемых токами I ₁ и I₂, внутри соленоидов коллинеарны. Если токи I₁ и I₂ текут в одном направлении, то векто­ры H ₁ и Н ₂ сонаправлены. В этом случае суммарное магнитное поле характеризуется напряженностью:

H = H₁ + Н₂ = (N₁I₁ + N₂I₂)/l (8.40)

Если же токи I₁ и I₂ текут в разных направлениях, то векторы Н ₁ и H ₂ направлены противоположно друг другу. При этом модуль напряженно­сти магнитного поля

H = | H ₁ + Н ₂ | = | H₁ - Н₂ | = (N₁I₁ - N₂ I₂)/l

Энергию однородного магнитного поля найдем по формуле (8.28):

W = (1/2) mH²V= (1/2) m (N₁I₁ ± N₂ I₂)²V/ l²

При помощи формул (8.22) и (8.40), запишем это выражение так:

W = (1/2) L₁I₁ ² +(1/2) L₂ I₂ ² ± L₁₂I₁ I₂

где первое слагаемое есть энергия тока в первом соленоиде, второе -энергия тока во втором, а третье слагаемое называется взаимной энерги­ей. Формула (8.42) справедлива в общем случае для двух произвольных контуров.

Задача. Найти взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение. Внутренний радиус тороида равен а, внешний - b, а его высота - h. Число витков в катушке - N. Магнитная проницае­мость окружающей среды - m.