Читайте также:
|
Пусть А- множество. Опр: бинарной алгебраической операцией на множестве А наз отображение 
. 
. 
Примеры: 1) Z +,-,*.: - не явл. 2) 
(А,*)- алгебр структура, на которой задана алгебраич операция - звёздочка. Свойства алгебр операц.:
1)комуникат: *- комуник опер. 
2) Ассоциат. 
Замечание: свойства опирация не связаня между собой. Бывают одновременно Ассоц и комуник (сложение, умножение), только ассоц или коммун (умножение матриц). Пример: n*m=-n-m (не асоц) 1*(2*3)= 1*(-2-3)= -1+5=-4 (1*2)*3= (-1-2)*3)= 3-3=0
3) (А,*)е- элемент нейтральный если 
а*е=е*а=а Если существует е, то он единственен. Док-во: пусть 
нейтральн. 
.
4) Сущ симметрического элемента а. 
-сим-ий элем для элемента а. 
. Утверж: Если (А,*)-алг структура с е, и * - ассоц операция, то сущ и он единств. Док-во: 
сим-ие для а. 
, 
=> 
5) Будем говорить, что операция * явл дистрибутивной операции 
, если 
; 
(1)- левая дистрибутивность, (2)- правая. (1),(2)-двойная. Существуют две терминологии: аддитивная и мультипликативная. Аддитивная: сложение; результат операции- сумма (а+в); нейтр элемент- 0; симметр: -а (противоположный). Мультипликативная: умножение; результат операции- произведение (а*в); нейтр элемент- 1; симметр: 
(обратный)
2.Полугруппа. Обобщенная ассоциативность. Степень элемента (его кратное)
Опр: полугруппа- множество с одной бинарной алг операцией, которая явл ассоц. 
Если полугруппа сод конечное число элементов, то она наз конечной, а число элементов - порядком полугруппы, в противном случае наз бесконечной. Если операция явл коммуник кроме ассоц, то полугруппа наз коммуникат. Полугруппа с нейтральным элементом наз нейтральной или моноидом. Примеры: 1) 
некомуник моноид, е=Е. 2) 
коммуник моноид, е=0. 3) 
коммуник моноид, е=0. Обобщенная ассоциативность: 
. Теорема: Пусть (А,*)- полугруппа, тогда выражение 
не зависит от скобок. Док-во: Методом мат индукции. n=3. 
т.к. полугруппа. 
. n=k+1:
Рассм левую часть равенства, приведём её к очередному виду: 1) l=k. 
2) 
аналогично скобки можно расставить и в правой части равенства (1). Следствия: Если (А,*)- полугруппа мультипликативная 1) 
; 
2) 
; 
3) если (А,*) с 1, 
4) Если *- комутат 
Если (А,*)- мультипликативная: 1) 
; 
2) ma+na=(m+n)a; n(ma)=(nm)a 3) если (А,*) с 0, (число)0a=0(элемент множества) 4) n(a+b)=na+nb
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 111 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |