Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальные уравнения

1. Задачи геометрического и физического характера, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Определение дифференциального уравнения, его порядка, решения.

2. Задача Коши для уравнения у'=f(x,у) и ее геометрическая интерпретация. Общее и частное решение уравнения 1-го порядка.

3. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения у'=f(x,у) (формулировка). Геометрическая интерпретация теоремы Коши.

4. Методы интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка:

а) с разделяющимися переменными;

б) однородные уравнения 1-го порядка;

в) линейного дифференциального уравнения первого порядка;

г) уравнения Бернулли.

5. Поле направлений, определяемое уравнением у'=f(x,у). Изоклины. Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши для уравнения у'=f(x,у).

6. Уравнения высших порядков. Задача Коши для уравнения у''=f(x,у,у') и ее геометрическая интерпретация. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка.

7. Метод понижения порядка для решения уравнений вида F(x,у',у'')=0, F(y,y',y")=0, F(y',y'')=0.

8. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков (однородные и неоднородные).

9. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.

10. Линейная зависимость и независимость системы функций. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Определитель Вронского и его связь с линейной независимостью системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.

11. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения.

12. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

13. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

14. Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений и общее решение в случае:

а) различных действительных корней характеристического уравнения;

б) кратных действительных корней характеристического уравнения;

в) комплексных корней характеристического уравнения.

15. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

17. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов в случае специального вида правой части.