Читайте также:
|
|
Определение1: Число называется пределом функции , если для любого числа существует (дельта от эпсилон), что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
или при .
Теоремы о пределах
Бесконечно большие и бесконечно малые.
Функция f (x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству | x - a | < d имеет место неравенство | f (x)| > M.
lim x ® a =¥
Функция ограниченная при x ® a.
Функция ограниченная при x ® ¥.
Теорема. Если lim x ® a f (x)= b, то функция f (x) ограниченная при x ® a.
Бесконечно малые и их свойства. lim x ® a a(x)=0
Теорема. 1. Если f (x)= b +a, где a - б.м. при x ® a, то lim x ® a f (x)= b и обратно, если lim x ® a f (x)= b, то можно записать f (x)= b +a(x).
Теорема. 2. Если lim x ® a a(x)=0 и a(x) ¹ 0, то 1/a® ¥.
Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.
Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.
Теоремы о пределах.
Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.
Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.
Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).
Теорема. 4. Если u (x) £ z (x) £ v (x), и lim x ® a u (x)=lim x ® a v (x)= b, то lim x ® a z (x)= b. ("Теорема о двух милиционерах").
5.
Замечательные пределы:
Первый замечательный предел: (при значение функции )
Второй замечательный предел: (иррациональное число )
6.
Определение. Функция , определенная на интервале , называется непрерывной в точке , если (т.е. предел функции равен ее значению при предельном значении аргумента).
Точки разрыва функции:
Рассмотрим функцию , определенную на интервале , кроме, быть может, точки . Значение аргумента называется точкой разрыва, если при функция определена, но не является непрерывной или не определена при этом значении . Если имеет точку разрыва и существуют пределы слева и справа, то это точка разрыва первого рода. Если пределы справа и слева равны, то – точка устранимого разрыва. Если хотя бы один предел не существует или является бесконечным, то – разрыв второго рода.
7.
Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.
Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:
8.
9.
Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции. Дифференциал функции y = f (x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x. |
Это записывается так:
или или же |
10.
В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
11.
Возрастание и убывание функции на интервале.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |