Читайте также:
|
Пусть 
- пространство элементарных исходов некоторого испытания, а 
- 
-алгебра событий, определенная на этом пространстве. Каждому событию 
множества ставится в соответствие величина 
, называемая вероятностью события и удовлетворяющая следующим условиям:
А1. 
.
А2. Вероятность достоверного события 
.
А3. Если в последовательности событий 
события попарно несовместны (т.е. 
), то 
.
Таким образом, вероятность есть функция 
, удовлетворяющая условиям А1-А3, или, как говорят, нормированная (вероятностная) мера, заданная на множестве 
. Аксиомы А1-А3 называются аксиомами теории вероятностей.
Заметим, что аксиома А3 эквивалентна двум следующим аксиомам (без доказательства):
А4. Если и 
несовместны, то 
.
А5. Если 
и 
, или 
и 
, то 
.
Определение 3. Тройка 
, где - пространство элементарных исходов, - -алгебра его подмножеств, а 
вероятностная мера на называется вероятностным пространством.
4.Теорема сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Условная вероятность
Теорема 1. (Сложения вероятностей)
Вероятность суммы двух совместных событий 
и 
равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления
.
Вероятность суммы несовместных событий рвана сумме их вероятностей, т.е.
.
.
События 
и 
называются независимыми, если вероятность не зависит от того, произошло событие или нет.
Событие называется зависимым от события ,если вероятность события зависит от того, произошло или не произошло событие .
Вероятность события ,вычисленная при условии, что имело место, называется условной вероятностью 
.
Теорема 2. (Умножения вероятностей)
Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного их этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое наступило:
.
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
.
Определение 1. Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место событие , называется условной вероятностью события относительно события и обозначается 
.
Легко заметить, используя классическое или геометрическое определение вероятности, что 
(см. рис14), однако для произвольного пространства , доказать это невозможно, поэтому в аксиоматической теории понятие условной вероятности дается как определение.
Определение 2. Условной вероятностью события относительно события называется величина, равная
,
(при условии 
.
5.Формула полной вероятности
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий 
, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых 
. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .
По теореме умножения вероятностей
,
откуда
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез 
называются апостериорными вероятностями, тогда как 
- априорными вероятностями.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 205 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |