Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоремы Чебышева и Бернулли.

Читайте также:
  1. V2: Предельные теоремы теории вероятностей
  2. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
  3. Вопрос 6.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
  4. Доказательства теоремы Цермело.)
  5. Задачи на теоремы о вероятностях событий
  6. Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей
  7. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме. Применение теоремы о циркуляции вектора В.
  8. Лекция 5. Теоремы о выводимых формулах
  9. Неравенство Чебышева, Лемма Чебышева.
  10. Неравенство Чебышева.
Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

теорема Чебышева. Если Х1, Х2,…, Хп – попарно независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены ( D(Xi) ≤ C), то для сколь угодно малого числа ε вероятность неравенства

будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико.

Замечание. Иначе говоря, при выполнении этих условий

Доказательство. Рассмотрим новую случайную величину и найдем ее математическое ожидание. Используя свойства математического ожидания, получим, что . Применим к неравенство Чебышева: Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то, учитывая условие теоремы, имеем: Используя этот результат, представим предыдущее неравенство в виде:

Перейдем к пределу при : Поскольку вероятность не может быть больше 1, можно утверждать, что

Теорема доказана.

Следствие.

Если Х1, Х2, …, Хп – попарно независимые случайные величины с равномерно ограничен-ными дисперсиями, имеющие одинаковое математическое ожидание, равное а, то для любого сколь угодно малого ε > 0 вероятность неравенства будет как угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. Иначе говоря, .

Вывод: среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин прини-мает значения, близкие к сумме их математических ожиданий, то есть утрачивает характер случайной величины. Например, если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем: а) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных, то есть все результаты представляют собой попарно независимые случайные величины; б) измерения производятся без систематических ошибок (их математические ожидания равны между собой и равны истинному значению а измеряемой величины); в) обеспечена определенная точность измерений, следовательно, дисперсии рассматривае-мых случайных величин равномерно ограничены; то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь



Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 4 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2022 год. (0.016 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав