Читайте также:
|
|
Рассмотрим вопросы теории диф-ных урав-й на примере урав-й первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, кот.допускают представление в виде y’=f(x,y). Тео-ма. Пусть в диф-ном урав-и фун-я f(x,y) и ее частная производная дf/дy непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Oxy. Тогда: 1) Для всякой точки (x0,y0) множества Г найдется реш-е y=y(x) урав-я, удовл-щее условию y0=y(x0); 2) Если два решения y=y1(x) и y=y2(x) урав-я совпадают хотя бы для одного значения x=x0, т.е. если y1(x0)=y2(x0), то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Прим-рЖ нэ=ню Реш-еЖ а(чбн) = нб да.дн =1ю н=Сучю Пусть н=н(ч)ж н0=н(ч0)ж С=н0у-ч0ж н=н(ч) и н=Суч=н0у-ч0уч=н0уч-ч0 – уравнения совпадают при ч=ч0ю
Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.
Дифференциальное урав-е первого порядка наз-ся однородным, если оно может быть представлено в виде y’=g(y/x). Понятие однород-го диф-го урав-я связано с однород-ми фун-ми. Фун-я y=f(x,y) наз-ся однородной степени k (по переменным x и y), если для произвольного числа α выполняется равенство f(αx, αy)=αk f(x,y) При-р: f(x,y)=x2 – xy. f(αx, αy)=(αx)2 – (αx)(αy)=α2(x2 – xy)= α2 f(x,y), данная фун-я однород-я степени 2.
Диф-ное урав-е первого порядка наз-ся линейным, если оно имеет вид y’+f(x)y=g(x). В случае, когда фун-я g(x) тождественно равна нулю, урав-е наз-ся однород-м, в противном случае – неоднород-м.
Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения.
u1+u2+….un= ∑ un=S сумма сходящегося ряда
Предел частной суммы Sn ряда (конечный или бесконечный) называется суммой ряда S=lim Sn
Пример
1. 1-+1-1+1-1+1….
S1=1; S2=0; S3=1
Пределы частной суммы не сущ – ряд рас-ся
Сходимость числового ряда
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности, его частичных сумм, если конечного предела не сущ при n→∞, то ряд называется рас-ся
Необходимый признак сходимости.
Тео-а. Если числовой ряд сх-ся, то предел его общего члена Un при n→∞,равен 0
lim Un=0
n→∞,
lim Un=lim (Sn-Sn-1)= limSn-lim Sn-1= S-S=0
n→∞,
След-е. Если lim Un≠0 то ряд рас-ся
При-ы. Исследуем сходимость ряда.
∑ 4n+5/3n+7
n=1
lim 4n+5/3n+7= lim 4n/3n≠0 рас-ся
n→∞,
Гармонический ряд и его расходимость (доказать).
1+1/2+1/3+...+1/n+... – гармонический ряд. Док-во: lim при n стремящимся к беско-ти Un=lim 1/n = 0; S2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/n+1 +…+1/2n. Sn=1+1/2+1/3+…+1/n. S2n-Sn=1/n+1 +…+1/2n. S2n-Sn>1/2n+…+1/2n = n*1/2n=1/2 или S2n-Sn>1/2. lim при n-> бескно-ти Sn=lim S2n=S, переходя к пределу в неравенстве, получим, что S-S>1/2 или 0>1/2. След-но, гармонический ряд расходится.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 111 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |