Читайте также:
|
|
Осн.правила диф-ния ф-ции одной переменной:
1. Производная постоянной равна нулю,т.е. с’=0.
2. Произв.арг-та равна 1,т.к. х’=1.
3. Произв-я алгебрач.суммы конечного ч-ла дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций, т.е. (u+ν)’=u’+ ν’.
4. Произв.произведений 2-х дифференц-х ф-ций (uν)’=u’ν+uν’.
Следствие1:Пост.множ-ль можно выносить за знак производной: (cu)’=cu’.
Следствие2: (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’
Доказательство: Пусть u=u(x) и ν=ν(x) – дифференцируемые ф-ции. Найдём производную ф-ции y=uν.
1º.Дадим аргументу х приращение ∆х≠0. Тогда ф-ции u и ν получат наращенные зн-я u+∆u и ν+∆ν, а ф-ция y – значение y+∆y=(u+∆u)(ν+∆ν).
2º.Найдём приращ.ф-ции
∆y=(u+∆u)(ν+∆ν)-uν = uν + ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν-uν = ∆uν + u∆ν + ∆u∆ν.
3º.Составим отношение ∆y/∆x, кот.представим в виде
∆y/∆x=(∆y/∆x)ν + u(∆ν/∆x) + (∆u/∆x)(∆ν/∆x)∆x.
4º.Найдём предел этого отнош-я при ∆х→0, используя теоремы о пределах
lim∆x→0∆y/∆x= lim∆x→0(∆u/∆x)ν + u lim∆x→0(∆ν/∆x) + lim∆x→0(∆u/∆x)∙lim∆x→0(∆ν/∆x)∙lim∆x→0∆x.
На основании опр-я производной получили,что y’=u’ν+uν’+u’ν’∙0 или y’=u’ν+uν’.чтд.
5. Производная частного двух дифференцируемых ф-ций м.б.найдена по ф-ле:
(u/ν)’=(u’ν-uν’)/ν2. (ν≠0).
Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функций.
Формулы производных основных элементарных функции.
1.С’ = 0
2.x’=1
3.(u+v)’=u’+v’
4.(uv)’=u’v+uv’
5.(cu)’= cu’
6.(u/v)’= u’v-uv’/v2
7.(un)’= nun-1*u’
8ю(√г)э=(1.2√г)*гэ
9ю(1.г) =-1.г2*гэ
10ю(уг)э= уг*гэ
11.(au)’= au lna*u’
12.(lnu)’=1/u*u’
13.(logau)’ = (1/ulna)*u’
Выводим формулу y=lnx
1. Дадим аргументу х приращение∆x≠0и найдем наращенное значение функции y+∆y=f(x+∆x)
x. ∆x≠0 y+∆y=ln(x+∆x)
2. Находим приращение функции∆y=f(x+∆x)-f(x)
∆y=ln(x+∆x)-lnx=ln(x+∆x/x)= ln (1+∆x/x)
3. Cоставляем отношение ∆y/∆x
∆y/∆x= 1/∆x*ln (1+∆x/x)
4. Находим предел этого отношения при ∆x →0
т.е. y’=lim∆y/∆x (если этот предел существует).
y’= lim∆y/∆x= lim 1/∆xln(1+∆x/x)= (0/0)= lim ln(1+y)/xy=1/xlimln(1+y)1/y= 1/xlimlne=1/x
Производная сложной функции
Пусть y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, тогда производная сложной функции y=f (φ(x) существует и равна производной данной функции но промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.
y’=f’(u)’*ux’
y’=lim ∆y/∆x= lim ∆y*∆u/∆x*∆u= lim ∆y/∆u*lim∆u/∆x= lim ∆y/∆u= f’(u)*u’
(если∆x →0, то и ∆u →0, т.к. u= φ(x)- непрерывна)
Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем.
Теорема Ролля. Пусть ф-ция y=f(x) удовлетворяет след-м усл-ям:
1)непрерывна на отр.[а;b];
2)дифференцируема на инт-ле(а;b);
3)на концах отрезка принимает равные зн-я,т.е. f(a)=f(b).
Тогда внутри отрезка сущ-ет по крайней мере одна такая точка ξ принал.(а,b), в кот.производная ф-ция равна нулю: f’(ξ)=0.
Геом.смысл т.Ролля: Если выполнены усл-я теоремы, то внутри отрезка [а;b] найдётся хотя бы одна точка, в кот. касат-я к гр-ку ф-ции будет ||-на оси абсцисс;в этой точке производная и будет равна нулю.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 129 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |