Читайте также:
|
|
Опр: В-р Х наз-ся собственным в-ром квадр.м-цы А, если он не нулевой и удовлетворяет ур-е Аnx1* Хnx1=Y* Xnx1,где Y -собств.зн-е квадр.м-цы А. коллинеарный в-р.
Число Y наз-ся собственным зн-ем оператора А~ (м-цы А),соответствующим в-ру Х.
Метод вычисления собств.зн-ий и собств.в-ров. Т.к. Хnx1=Еnx1 * Хnx1, то АХ=YEX ~ AX-YEX=0 ~ (A-YE)X=0. Если ^ = |A-YE|=0,то т.к.все ^1=0, сист.ур-ий имеет бескон.много реш.в этом сл-е (0/0).
Ур-е |A-YE|=0 – характеристическое ур-е м-цы. Из него находим Y и далее по ур-нию (A-YE)X=0 находим соотв.ненул.в-р Х.
Св-ва собств.зн-ний м-цы А: 1) Произвед-е собств-х зн-ний м-цы А равно её определителю |А|=Y1,Y2,...,Yn.
2) Число отличных от нуля собств.зн-ний м-цы А = её рангу.
3) Все собств.зн-я м-цы отличны от 0 тогда и только тогда,когда м-ца А невырожд.
4) Если Yне=0 – собств.зн-е невырожд.м-цы А,то Y-1=1/Y – собств.зн-е обрат.м-цы А-1. 5) Если Y – собств.зн-е м-цы А,то Ym -собств.зн-е м-цы Аm, где m – натур.ч-ло.
8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
8. Система лин.ур-ний:
Аmxn*Хnx1=Вmx1 <=> (ф.1)
(a11x1+a12x2+…+ аnxn=b1
(a21x1+a21x2+… +a2nxn=b2
(….
(аmx1+а2mx2+… +аmnхn=bm
В матричной форме система имеет вид АХ=В, где
(а11 a12... a1n)
A= (a21 a22... a2n)
Ф.2(............);
(am1 am2.. amn)
(x1)
X= (x2)
Ф.3 (....);
(xn)
(b1)
B= (b2)
Ф.4(....);
(bm)
называются собственно матрицей системы, матрицами-столбцами переменных и свободных членов.
Решение системы:а) методом обр.м-цы. Ур-е в матричной ф-ме имеет вид АХ+В. Найти обр.м-цу. И найдём Х по ф-ле Х=А-1В,( т.е.х1,х2,х3.)
б) По ф-ле Крамера. Найти определитель системы ^=|A|. Если он не=0,то сист.имеет единств.реш. Далее вычислить опред-ли м-ц ^ 1, ^ 2, ^ 3,полученных их м-цы А,заменой соотв-но 1-го,2-го и 3-го ст-цов столбцом своб.членов. Далее по ф-лам Крамера:х1= ^ 1/ ^, х2= ^ 2/ ^, х3= ^ 3/ ^.
Расширенной м-цей системы наз.м-ца (А|В),полученная из м-цы сист.А добавлением к ней ст-ца членов этой системы,т.е. (А|В)=(ф.2|ф.4)
Теорема Кронекера-Капелли. Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы.
r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;
r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;
r(A)не=r(A|B) - с-ма несовм-ная;
r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;
r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);
r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)
Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.
Если система лин.ур-й имеет единств.решение Х=(х1,х2,…хn),то такая сист.наз. определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист .не определённая.
9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
Метод Гаусса – метод послед-го исключ.переменных.
Сначала(на 1-м шаге прямого хода Гаусса) из всех ур-ний,кроме 1-го исключается переменная х1. Потом (на 2 шаге) из всех ур-й,кроме первых 2-х исключается переменная х2 и т.д.,пока последнее ур-е не приобретёт вид: С * Хn=bm, если ч-ло С=0, а bm не=0,то с-ма не совместная,т.е.нет решений. Если С=0 и bm=0,т.е. 0*Хn=0,то с-ма неопределённая,т.е. имеет бескон.мн.реш.,то с-ма совместно-определённая. В этом сл-е Хn=bn/C
Полученное зн-е Хn подстав.в предпосл.ур-е,находим Хn-1 и тд.,пока не получ.все неизв-е.
Обратный ход Гаусса. Из м-цы ступенч.вида записывается ур-е. Далее,начиная с конца находим все переменные. Допустим Х4. Подставляем в верхнее и нах-м Х3 и т.д.
Метод Гаусса — Жордана исп-ся для реш.квадр.систем лин.ур-ний, нахождения обрат.м-цы, отыскания ранга м-цы. Метод явл-ся модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.
Теорема Кронекера-Капелли. Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы.
r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые;
r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые;
r(A)не=r(A|B) - с-ма несовм-ная;
r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная;
r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.);
r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.)
Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная.
Если система лин.ур-й имеет единств.решение Х=(х1,х2,…хn),то такая сист.наз. определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист .не определённая.
10. 10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А –1 В).
Рассм.с-ма лин.ур.,в кот.ч-ло ур-ний = ч-лу неизв-х. Тогда м-ца с-мы (сост.из коэф-в при неизв-х,когда в 1-м ст-це коэф-та Х1, во 2-м коэф-та Х2 и т.д.) квадратная.
Если м-ца с-мы невырожденная, то реш.с-мы ст-ц неизв-х
Х=А-1В, где В – ст-ц своб.чл-в.
Для получ.реш-я с-мы (ф.1) при m=n в общ.виде предположим, что квадр.м-ца с-мы Аnxn невырожд.,т.е. её опред-ль |A|не=0. В этом сл-е сущ-ет обр.м-ца А-1.
Умножая слева обе части матричного равенства (ф.5) на м-цу А-1,получим А-1(АХ)= А-1В. Т.к. А-1(АХ)=(А-1А)Х=ЕХ=Х, то реш-м с-мы методом обр.м-цы будет м-ца-столбец Х= А-1В.
Аmxn*Хnx1=Вmx1 <=> (ф.1)
(a11x1+a12x2+…+ аnxn=b1
(a21x1+a21x2+… +a2nxn=b2
(….
(аmx1+а2mx2+… +аmnхn=bm
(а11х1+ а12х2 +…+а1jxj+...+а1nxn=b1; (ф.5)
(а21х1+а22х2+…+а2jxj+…+а2nxn=b2;
(...........
(аi1х1+аi2х2+…+aijxj+…+ainxn=bi;
(...........
(аm1х1+аm2х2+…+аmjxj +…+аmnxn=bm.
11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 106 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |