Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Читайте также:
  1. Борьба западных адыгов за свою свободу и независимость на 2-м этапе Русско-Кавказской войны (1829-1859 гг.).
  2. Борьба западных адыгов за свою свободу и независимость на 2-м этапе Русско-Кавказской войны (1829-1859 гг.).
  3. Борьба Руси за независимость в XIII в.
  4. В27. Теорема Гауса для магнітного поля.
  5. Война за независимость в США
  6. Война за независимость.
  7. Вторая теорема Шеннона
  8. Демократические идеи в США в годы борьбы за независимость (Т.Джефферсон, Т.Пейн).
  9. ЕДИНСТВО И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВНЕШНЕГО И ВНУТРЕННЕГО МИРОВ
  10. Зависимость между величинами (прямо пропорциональная, обратно пропорциональная, линейная).
Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Линейная зависимость и независ.строк м-цы.Расм.прямоуг.м-цы Аmxn

l1=(a11,a12,a13,a14,..,a1n) – 1-я строка; l2=(a21,a22,a23,a24,..,a2n) – 2-я строка.

lm=(am,am2,am3,am4,..,amn) Линейной комбинацией строк м-цы наз-ся выраж. λ– «лямбда».

λ 1 * k1+ λ 2k2+… + λ m-1km -1+ λ mkm , где все λ -это числа.

Опред.:строки l1,l2,..,lm – линейно независимые,если их линейная комбинация равна нулевой строке,когда все числа λ =0 (λ 1=0, λ 2=0, λ 3=0,.. λ m=0). Если опред-ль А не=0, то строки линейно независимы.

Опр:строки l1,l2,l3,..lm-1,lm – лин.завис.,если их лин.комбинация = нулевой строке только, когда хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2, λ m ≠0.

ТЕОР.о ранге м-цы. Ранг м-цы равен максимальному числу её лин.независ.строк или ст-в м-цы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (ст-цы).

Пусть м-ца А размера mxn имеет ранг r(r≤min(m;n)). Это означает,что сущ-ет отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий нулевой минор r-го порядка будет наз-ть базисным минором. Пусть для определённости это минор

|a11 a12 ... a1r|

|a21 a22 ... a2r|

∆= |... | ≠0.

|ar1 ar2 ... arr|

Тогда строки м-цы e1,e2,...,er линейно независимы. Предположим противное,т.е.одна из этих строк,напр. еr, явл-ся лин-й комбинацией остальных:

er1e12e2+...+λr-1er-1.

Вычтем из эл-тов r-й строки эл-ты 1-й строки,умноженные на λ1, эл-ты 2-й строки, умноженные на λ2, и т.д., наконец,эл-ты (r-1)-й строки,умнож-е на λr-1. При таких преобразованиях м-цы её опред-ль ∆ не изм-ся, но т.к. теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то ∆=0 – противоречие, и наше предполож.неверно.

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

Геом.вектор. Вектор АВ-> – направленный отрезок прямой (АВ) с нач.в т.А и концом в т.В. При умнож.вектора на число «У» получается коллинеарный в-р.

Длина в-ров |АВ|= кв.корень х22

В-ры,лежащие на одной прямой наз-ся коллинеарными. В-ры,лежащие в одной плоскости или ||-ных плоскостях наз-ся компланарными. Если нач.и конец вектора совп.,то в-р наз-ют нулевым. Длина нул.вект.=0.

Вектором,противоп-м в-ру а->,наз-ся произвед.в-ра а->на ч-ло (-1),т.е. - а->=(-1)а->.

Координатами в-ра а-> наз-ся корд-ты его конечной точки. На плоскости Oxy два ч-ла - (х;у), в пространстве Oxyz три ч-ла - (х;у;z).

В-р а-> = (x;y;z) мож.б.записан в виде а-> = хi-> +yj->+zk->. i->,j->,k-> – единичные в-ры(орты),совпадающие с направл.соотв.осей Ох,Оу,Оz. хi->,уj->,zk-> - компоненты в-ра.

Операции над в-ми:

1) Суммой двух в-ров а-> и b-> наз-ся в-р с->->+ b->,нач.кот.совп-т с нач.в-ра а->, а конец – с концом в-ра b->при усл.,что нач.в-ра b-> совп.с концом в-ра а->.

Правило треугольника. Для слож.2-х в-ров а->и b-> по правилу треуг-ка оба эти в-ра переносятся ||-но самим себе так,чтобы нач.одного из них совп.с концом другого. Тогда в-р суммы задаётся 3-ей стороной образовавшегося треуг-ка, причём его нач.совп.с нач.первого в-ра.

2)умнож.в-ра на ч-ло:при умнож.в-ра на ч-ло Y пол-ся коллинеарный в-р. (Произвед.в-ра а-> на ч-ло У наз-ся в-р b->=Уа->,имеющий длину |b->|=|У||а->|,направление кот.совп.с направл.в-ра а->, если У<0.) Если b->= а->Y,то а->|| b->. И наоб.,если а->|| b->( а->не=0),то b->= а->Y.

3) Разностью 2-х в-ров а->и b-> наз-ся сумма в-ра а-> и в-ра -b->,противоположного b->.

||Скалярным произведением 2-х в-ров наз-ся ч-ло,равное произведению длин этих в-ров на косинус угла между ними: а-> * b-> *cosф, где ф-угол между в-рами а-> и b->. В-ры явл-ся ||-ми тогда и только тогда, когда их скал.произвед.=0.

||n-мерным в-ром наз-ся упорядоченная совокуп.n действительных чисел,записываемых в виде х=(х12,..,хn),где числа х123,..хn компоненты в-ра.

Равенство в-ров.Векторы х и y равны тогда и только тогда, когда равны их соотв.компоненты,т.е. х=у,если хij, i=1,2,…,n.

Суммой 2-х в-ров одинак.размерности n наз-ся в-р z=x+y,компоненты кот.равны сумме соотв.компонент слагаемых в-ров,т.е.zi=xi+yi,i=1,2,...,n.

Произв-м в-ра на действит.ч-ло Y наз-ся в-р u=Yx,комп-ты кот.равны произв-ю Y на соотв.комп-ты в-ра х,т.е. ui = Yxi, i=1,2,...,n.

Линейные оп-ции над люб.в-рами удовлет.след.св-вам: 1)х+у=у+х – коммутативное, 2)(х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативное(сочетательное), 3)альфа(бета*х)=(альфа*бета)х, 4)альфа(х+у)=альфа*х+альфа*у, 5)(альфа*бета)х=альфа*х+бета*х, 6)сущ-т нул.в-р 0=(0,0,…,0)такой,что х+0=х для люб.в-ра х., 7)для люб.в-ра сущ-т противоп.в-р (-х) такой,что х+(-х)=0., 8)1*х=х для люб.в-ра х.

Опр.:ВЕКТОРНОЕ ПР-ВО:множество в-ров с действит.компонентами,в котором определены операции сложения в-ров и умнож.в-ра на ч-ло,удовлетворяющее приведённым выше 8-ми св-вам.

n-векторное пространство – это множество всех n-мерных векторов.

Вектор аm наз-ся линейной комб-ей в-ров а12,..,аm в-рного простр-ва R,если он равен сумме произв-ний этих в-ров на произвол.действит.ч-ла: am= Y1a1+ Y2a2+ ...+Ym-1am-1, где Y1,Y2,...,Ym-1 – какие угодно действит.ч-ла.

Опр.:В-ры а12,…,аm в-рного простр-ва R наз-ся лин.завис.,если сущ-ют такие ч-ла Y1,Y2,...,Ym,не равные одновременно нулю, что Y1a1+Y2a2+...+ Ymam=0. В противном случае в-ры наз-ют лин.независ.

Лин.простр-во наз.n-мерным,если в нём сущ-ет n линейно независ.в-ров,а любые из (n+1) в-ров уже явл-ся завис. Размерность пр-ва – это максимально ч-ло содержащихся в нём линейно независ.в-ров. Ч-ло n наз-ся размерностью пр-ва R. Совокупность n линейно независ.в-ров n-мерного пр-ва таких,что любой в-р прост-ва может быть единственным образом представлен в виде их лин.комбинации наз-ся БАЗИСОМ.

Если е1,е2,…,еn – система лин.независ.в-ров пр-ва R и любой в-р а лин.выражается через е1,е2,…,еn, то пр-во R явл-ся n-мерным,а в-ры е1,е2,…,еn – его базисом.

Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь



Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 17 | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2022 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав