Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вложение кольца Z в поле Q.

Определение: Q_Z:= {a=(а,1)/аÎZ} Элементы этого множества будем называть целыми рациональными числами.

Свойство 1: [(с, d)]Î Q_Z Û с d.

Доказательство: (Þ) (а, 1)~(с, d) Þad=cÞc d

(Ü) c d Þ(c, d)~(k,1). Ä

Свойство 2: f: Z® Q_Z: a |®[(a,1)] ()

f – гомоморфизм колец.

Доказательство: Q_Z - кольцо, f(a+в)=f(a)+f(в), f(ав)=f(a)f(в). Ä

Свойство 3: Гомоморфизм f – биекция.

Следствие: Z@ Q_Z изоморфные кольца.

Свойство 4: Гомоморфизм f сохраняет порядок: "а, в Î Z а>вÞf(a)>f(в)

Доказательство: f(a)=[(a,1)], f(в)=[(в,1)], a*1>в*1, т.к. a>в. Ä

Следствие: На основе изоморфизма (), который сохраняет операции сложения, умножения и отношение порядка, можно отождествить каждое целое число а с целым рациональным числом [(а, 1)], таким образом кольцо целых чисел Z является подкольцом поля Q рациональных чисел.

Свойство 5: Произвольное рациональное число можно представить как частное двух целых чисел.

Доказательство: a=[(а, в)] Î а, в ¹0. [(а, 1)] × [(1, в)] = [(а, 1)]: [(в, 1)] = . Ä

Теорема: Поле рациональных чисел является наименьшим полем, которое содержит кольцо целых чисел.

Доказательство: По свойству 5 каждое рациональное число можно представить как частное двух целых чисел.

Пусть Р – подполе поля Q которое содержит Z.

Р – поле, поэтому содержит результаты всевозможных сумм, вычитаний и делений своих элементов, в том числе и целых чисел, поэтому Р содержит всевозможные частные целых чисел, но каждое рациональное число Q и есть частное 2-х целых чисел, поэтому Q<P или Q=P. Ä