Читайте также:
|
n
 |
M0
 |
(L)
Рассмотрим поверхность F(x, y, z) = 0 и точку М0(x0, y0, z0). Пусть F′x, Fy, F′z точке М0 существуют и непрерывны и не обращаются в нуль одновременно. Прямая называется касательной к поверхности, если она является касательной к какой-либо кривой, целиком лежащей на поверхности.
Докажем, что все касательный прямые к поверхности, проведенные в точке М0, лежат в одной плоскости. Пусть
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
– параметрические уравнения кривой (L), лежащей на поверхности. Пусть t0 – значение параметра, соответствующего точке М0.
s0 = {x′(t0), y(t0), z′(t0)}
– направляющий вектор касательной прямой к кривой (L). Тогда
Рассмотрим вектор n = 
. Этот вектор не зависит от выбора кривой (L), а зависит только от поверхности и от точки М0. Соотношение (*) означает, что скалярное произведение (n, s) = 0. Это означает, что все касательные прямые к поверхности, проведенные в точке М0, перпендикулярны к одному и тому же вектору. Следовательно, они лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности.
Уравнение касательной плоскости запишется в виде
. (**)
Прямая, проходящая через точку М0 и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.
− канонические уравнения нормали к поверхности.
Пусть поверхность задана уравнением z = f(x, y). Тогда
Уравнение касательной плоскости запишется
П р и м е р. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности x2 + y2 + z2 = 3 в точке М0(1, 1, -1).
z
 |
y
Mm
x n
Уравнение касательной плоскости имеет вид
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 138 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |