Читайте также:
|
О п р е де л е н и е 1. Функция z = f(x, y) имеет максимум в точке M0(x0, y0), (т.е. при x = x0, y = y0), если
f(x0, y0) > f(x, y)
для всех точек (x, y), достаточно близких к точке (x0, y0).
z
,
f(x0,y0) f(x,y)
y
(x,y)
x (x0,y0)
О п р е де л е н и е 2. Функция z = f(x, y) имеет минимум в точке M0(x0, y0), (т.е. при x = x0, y = y0), если
f(x0, y0) < f(x, y)
для всех точек (x, y), достаточно близких к точке (x0, y0).
Z
f(x,y) f(x0, y0)
y
x
П р и м е р. z = x2 + y2. Точка x = y = 0 – точка минимума, т.к. в этой точке z = 0, и z > 0 при всех x ≠ 0, y ≠ 0.
Теорема (необходимое условие экстремума).
Если функция y = f(x, y) имеет экстремум при x = x0, y = y0, то ее частные производные первого порядка в этой точке либо равны нулю, либо не существуют.
 |
Пусть в точке P0(x0, y0) функция z = f(x, y) имеет
максимум. Зафиксируем y = y0 и рассмотрим
z = f(x, y0). Это функция одной переменной и у нее
точка x = x0 является точкой максимума.
y0 y Следовательно, f′x(x0, y0) либо равна нулю, либо не
x0 существует.
x P0
Зафиксируем x = x0 и рассмотрим z = f(x0, y). Точка y = y0 является точкой максимума. Следовательно, f′y(x0, y0) либо равна нулю, либо не существует.
Это условие является только необходимым, но не является достаточным.
П р и м е р. z = x y. z′x= y, z′y = x. Очевидно, z′x= z′y = 0 при x = y = 0. При этом z = 0.
Но в любой окрестности точки (0, 0) z > 0, если x и y
y одного знака и z < 0, еcли x и y разных знаков.
Следовательно, в точке (0, 0) экстремума нет.
--
x
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 81 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |