Читайте также:
|
1. f(x) = C, (где С – постоянная) непрерывна на R, т.к. 
при любом x.
2. f(x) = x, непрерывна на R, т.к. 
при 
.
3. f(x) = 
, непрерывна на R как произведение непрерывных функций.
4. f(x) = 
, непрерывна на R, т.к. многочлен 
есть сумма непрерывных функций.
5. f(x) = 
, где P и Q – многочлены степени n и m соответственно, непрерывна на R кроме тех x, при которых Q обращается в нуль, как частное непрерывных функций.
6. f(x) = sin(x), f(x) = cos(x)
Пусть 
– произвольная точка множества R. Тогда sinx-sin 
. Так как 
, а 
, то 
, откуда следует, что функция f(x) = sin(x) – непрерывна.
Аналогично рассуждая, можно доказать непрерывность косинуса. Из непрерывностей синуса и косинуса следуют непрерывности тангенса и котангенса, учитывая что 
(для тангенса) и 
(для котангенса).
7. f(x) = arcsin(x), f(x) = arccos(x), f(x) = arctg(x), f(x) = arcctg(x), непрерывны на своей области определения. Это следует из теоремы об обратной функции, примененной не ко всей тригонометрической функции (к примеру, sin(x)), а к ее отрезку (для sin(x) это отрезок 
).
8. 
, где r – рациональное. Представим r = m / n, 
. Тогда 
. Функция 
непрерывна и строго возрастает на R. По п. 2 
также непрерывна.
9. 
, a > 1, непрерывна на R. Пусть 
– произвольная точка множества R, 
= 
. Докажем, что 
. Пусть 
- произвольная последовательность вещественных чисел такая, что 
. В силу свойств вещественных чисел найдутся последовательности рациональных чисел 
и 
, удовлетворяющие при 
условию: 
< 
, откуда 
. Так как 
и 
, то 
=1. Отсюда и 
, ч.т.д.
10. Логарифмическая функция непрерывна, что следует из непрерывности показательной функции по теореме об обратной функции.
№11
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 91 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |