Читайте также:
|
|
Рассмотрим автономную систему и
функцию .
Назовем эту функцию знакоположительной, если ,
знакоотрицательной, если
Назовем функцию положительно определенной, если
она знакоположительна,
Назовем функцию отрицательно определенной, если
она знакоотрицательна,
Назовем функцию знакоопределенной, если она является отрицательно определенной или положительно определенной.
Введем производную функции в силу системы : . Заметим, что . Поэтому, если , то угол между градиентом V и вектором правых частей системы тупой. Следовательно, убывание функции V соответствует движению по фазовым траекториям внутрь линии уровня =С.
На этом основан метод функций Ляпунова. Этот метод сводится к трем теоремам Ляпунова.
Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть существует функция (функция Ляпунова), положительно определенная и имеющая знакоотрицательную в некоторой окрестности точки .
Тогда тривиальное решение автономной системы устойчиво по Ляпунову.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существует функция , положительно определенная и имеющая отрицательно определенную в некоторой окрестности точки .
Тогда тривиальное решение автономной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть . Пусть знакоопределена в некоторой окрестности точки . Если в любой окрестности точки найдутся такие точки, в которых знаки и совпадают, то тривиальное решение автономной системы неустойчиво.
Пример.
Выберем
положительно определена, отрицательно определена. Поэтому тривиальное решение асимптотически устойчиво.
Пример.
Выберем
и положительно определены, поэтому тривиальное решение неустойчиво.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |