Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Частные производные

Рассмотрим функцию z=f(x,y), M₀(x₀,y₀) – рассматриваемая точка.

Дадим аргументу х₀ приращение Dх: х₀+Dх, получим точку M₁(х₀+Dх,у₀), вычислим разность значений функции в точке M₀: D_хz = f(M₁)-f(M₀) = f(x₀+Dx,y₀) - f(x₀,y₀) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х₀.

Определение 8. Частной производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю, то есть частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) называется предел

,

если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:

; ; .

Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f(x,y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.

Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

.

В пространстве XYZ условие y = y ₀ описывает плоскость P, перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y ₀. Плоскость P пересекается с графиком функции z = f (x, y), вдоль некоторой линии L, как показано на рисунке 3. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к линии L в точке с координатами x ₀, y ₀ равен частной производной по x функции z = f (x, y)в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной по y.

Если частные производные функции z = f (x, y) существуют на некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

.

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются:

z_xx ¢¢, z_yy¢¢, z_xy¢¢ или .

Согласно определению:

; .

Последняя частная производная второго порядка называется смешанной.

А зависит ли смешанная частная производная второго порядка от того в какой последовательности берутся переменные по которым вычисляется производная. Ответить однозначно на этот вопрос нельзя, так как смешанные частные производныеравны будут только в том случае, если они непрерывны, о чем и говорит следующая теорема.

Теорема 1. Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того в какой последовательности вычислялись частные производные.

В остальных же случаях смешанные производные равны не будут.