Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Непрерывность функции двух переменных в точке

Определение 6. Пусть f – функция двух переменных и M₀(x₀,y₀) – предельная точка множества D(f), принадлежащая этому множеству. Тогда функция f называется непрерывной в точке M₀, если:

.

Переходя к координатным обозначениям M₀=(x₀,y₀), M=(x,y), мы можем аналогично случаю функции одной переменной, рассматривать разности x-x₀, y-y₀ как приращение аргументов ∆x и ∆y, а разность f(x,y)- f(x₀,y₀) – как приращение функции ∆ f(x₀,y₀). Тогда получаем, что функция f непрерывна в точке (x₀,y₀), если бесконечно малым приращениям аргументов ∆x и ∆y соответствует бесконечно малое приращение функции ∆ f(x₀,y₀), т. е. . Теперь учитывая определение предела функции в точке, переформулируем определение непрерывности.

Определение 7. Функция f называется непрерывной в точке M₀, если M₀ÎD(f) и для любой точки M_n, принадлежащей D(f) выполняется условие:

.

Следовательно, функция является непрерывной в точке, если:

1. функция определена в этой точке;

2. имеет предел в этой точке;

3. предел равен значению функции в этой точке.

В противном же случае функция терпит разрыв в этой точке.