Читайте также:
|
|
Определение 10. Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) ( f(x,y)>f(x0,y0)). (Рис. 5 и Рис. 6).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
|
|
Сформулируем необходимое условие экстремума.
Теорема 2. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.
Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.
Там, где выполняется необходимое условие, экстремума, может и не быть.
Пример:
z = xy; zx¢ = y; zy¢ = x; zx¢(0,0) = 0; zy¢(0,0) = 0.
Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).
Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума.
Теорема 3. Пусть zx¢(x0,y0) = 0 и zy¢(x0,y0) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем обозначения: A = zxx¢¢(x0,y0); B = zxy¢¢(x0,y0); C = zyy¢¢(x0,y0); D = AC - B2.
Тогда, если D < 0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.
Если D > 0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.
Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.
Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему алгоритму:
1. Найти первые частные производные: .
2. Найти стационарные точки, т. е. точки, в которых и
3. Найти вторые частные производные
4. Вычислить значения вторых производных в стационарных точках
5. Для каждой стационарной точки найти значение D, и сделать выводы на основании теоремы 3.
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 12 | Нарушение авторских прав