Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Экстремумы функции двух переменных

Определение 10. Точка M ₀(x ₀, y ₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f (x,y), если найдется такая окрестность точки M ₀, что для всех точек M (x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f (x,y)< f (x ₀ ,y ₀) (f (x,y)> f (x ₀ ,y ₀)). (Рис. 5 и Рис. 6).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Сформулируем необходимое условие экстремума.

Теорема 2. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума, может и не быть.

Пример:

z = xy; z_x ¢ = y; z_y ¢ = x; z_x ¢(0,0) = 0; z_y ¢(0,0) = 0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её окрестности есть точки, где z (x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z (x,y) < 0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума.

Теорема 3. Пусть z_x ¢(x ₀ ,y ₀) = 0 и z_y ¢(x ₀ ,y ₀) = 0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x ₀ ,y ₀). Введем обозначения: A = z_xx ¢¢(x ₀ ,y ₀); B = z_xy ¢¢(x ₀ ,y ₀); C = z_yy ¢¢(x ₀ ,y ₀); D = AC - B ².

Тогда, если D < 0, то в точке (x ₀ ,y ₀) экстремума нет.

Если D > 0, то в точке (x ₀ ,y ₀) экстремум функции z, причем если A > 0, то минимум, а если A < 0, то максимум.

Если D = 0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему алгоритму:

1. Найти первые частные производные: .

2. Найти стационарные точки, т. е. точки, в которых и

3. Найти вторые частные производные

4. Вычислить значения вторых производных в стационарных точках

5. Для каждой стационарной точки найти значение D, и сделать выводы на основании теоремы 3.