Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Непрерывность и ограниченность функции

Установим связь между непрерывностью и ограниченностью функции в точке. Имеет место следующая теорема:

Теорема 4. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она ограничена на этом множестве.

Доказательство. Допустим, что существует функция f непрерывная на компактном множестве Е, но не являющаяся ограниченной на этом множестве. Тогда для любого n принадлежащего множеству N, существует последовательность точек P_n принадлежащих множеству Е, для которых выполняется условие: |f(P_n)|>n. Из последовательности (P_n) точек множества E выделим подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке P₀ из множества Е. Но теперь имеем:

, при , при

ввиду непрерывности f в точке P₀. Эти два предельных результата несовместимы, значит наше предположение о неограниченности функции f на множестве Е – не верно, что и доказывает данную теорему.