Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Существует также показательная форма комплексного числа связанная с тригонометрической по формуле Эйлера:

.

(9)

Данное соотношение легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:

.

(10)

Представим ряд в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:

.

(11)

Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях. Выражение (1) задало , тогда , в свою очередь . Таким образом можно рекурентно записать:

.

(12)

Построим аналогичным облразом рекурентное соотношение для нечетных степеней: тогда , в свою очередь , получим:

.

(13)

Таким образом выражение (11) с учетом (12) и (13) принимает вид:

.

(14)

В выражении (14) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции косинуса, а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции синуса. Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (9). Используя формулу Эйлера можно сделать ряд важных замечаний: Замечание 1:

.

(15)

Замечание 2:

.

(16)