Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Непрерывность частных производных в точке и дифференцируемость функции в этой точке

В математическом анализе доказывается теорема, которая устанавливает связь между непрерывностью частных производных и дифференцируемостью функции в точке.

Теорема 6. Если функция z = f (x, y) имеет в точке P(x,y) непрерывные частные производные f¢_x (х, у) и f¢_у (х, у), то в этой точке функция дифференцируема.

Доказательство. Рассмотрим полное приращение функции z = f (x, y):

∆z=f(x+∆x, y+∆y)-f(x,y).

Если к правой части этого равенства прибавить и отнять величину f(x, y+∆y), то выражение для ∆z, запишется в виде:

∆z =[ f(x+∆x, y+∆y)- f(x, y+∆y) ]+[ f(x,y+∆y)- f(x,y) ].

Иными словами приращение функции при переходе от точки P к точке P₁ (рис. 7) мы представили в виде суммы двух приращений: приращения, которое получает функция при постоянном x, то есть при переходе от точки P к точке N, и приращения при постоянном y, то есть при переходе от точки N к точке P₁.

Выражение в первой скобке является приращением функции f(x,y) при постоянном втором аргументе (y+∆y), когда x получает приращение ∆x. Рассматривая это приращение функции одного x, применим формулу Лагранжа. Будем иметь:

f(x+∆x, y+∆y)- f(x, y+∆y)= ,

где положение точки Q(ξ₁, y+∆y) показано на рисунке 7.

Точно так же, применяя формулу Лагранжа к выражению во второй скобке как к приращению функции одного y, получим:

f(x, y+∆y)- f(x,y)= ,

где точка R(x,ξ₂) лежит на отрезке PN.

Таким образом:

∆z= + .

Но по условию производные f¢_x и f¢_у – функции непрерывные. Так как при точки Q и R также стремятся к точке P, то можно положить:

= f¢_x (х, у)+ε₁,

= f¢_y (х, у)+ε₂,

где ε₁ и ε₂ будут стремиться к нулю вместе с ∆ x и ∆ y, а следовательно, вместе с ρ=PP¢= . Подставляя эти выражения в формулу для ∆z, получим:

∆z= [ f¢_x (х, у)+ε₁] ∆x+ [ f¢_y (х, у)+ε₂] ∆y

или

∆z= f¢_x (х, у) ∆x+ f¢_y(х,у)∆y+α, (3)

где α= ε₁∆x+ ε₂∆y.

В силу неравенств , имеем:

.

Следовательно,

;

так как ε₁ и ε₂ при стремятся к нулю, то стремится к нулю и отношение , то есть α является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ. Поэтому сумма первых двух слагаемых, в правой части равенства (3), линейная относительно ∆x и ∆y, и представляет собой согласно определению дифференциал функции в точке P(x,y), то есть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке P(x,y), что и требовалось доказать.