Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие функции двух переменных

Пусть имеется n +1 переменная x ₁, x ₂,..., x _n, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x ₁, x ₂,..., x_n соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x ₁, x ₂,..., x_n называется значением функции f в точке (x ₁, x ₂,..., x_n), что записывается в виде формулы y = f (x ₁ ,x ₂,..., x_n) или y =y (x ₁ ,x ₂,..., x_n).

Переменные x ₁, x ₂,..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.

Далее я буду говорить лишь о функции двух переменных. Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения. Аргументы функции двух переменных будут обозначаться, как правило, x и y, а значение функции - z.

Будем говорить, что задана функция двух переменных, если любой паре чисел (x,y) из некоторого множества D упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается f (x,y) и называется значением функции f в точке (x,y). Множество D называется областью определения функции. В связи с этим определение.

Определение 1. Переменная z называется функцией двух переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î Dставится в соответствие определенное значение переменной z.

Поскольку любую пару чисел x,y можно рассматривать как пару координат точки M на плоскости, вместо z=f (x,y) можно писать z = f (M).При этом аргументами функции будут координаты x,y точки M.

Числа x, y можно рассматривать как координаты вектора , исходящего из начала координат и с концом в точке M (x,y). Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы z = f (), причем аргументами функции являются координаты вектора .

Определение 2. График функции двух переменных есть множество точек (x, y, f (x, y)), где (x,y)Î D. График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке 1.