Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 9. Метод средних величин и вариационный анализ

Средняя величина – это обобщающая количественная характеристика совокупности по изучаемому признаку в конкретных условиях места и времени. Средняя величина отражает то общее и типичное, что присуще единицам данной совокупности.

Расчет средней начинается с определения логической формулы, исходного соотношения показателя (ИСС):

ИСС=А/В

где А – объем изучаемого события в совокупности: это суммарная абсолютная величина;

В – объем совокупности: это число единиц совокупности.

Форма, вид и методика расчета средней величины зависят от поставленной цели, вида и взаимосвязи изучаемых признаков, а также от характера исходных данных.

Средние величины делятся на 2 основные категории:

ü степенные (аналитические, порядковые) средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая);

ü структурные (позиционные) средние (мода и медиана) — применяются для изучения структуры рядов распределения.

Степенные средние

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

1. средняя арифметическая (к=1).

а) простая - спользуется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным:

где xi — i-й вариант осредняемого признака; n — число вариант

б) взвешенная- используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок

,где fi — частота повторяемости i-го варианта

2. средняя гармоническая (к=-1),

а) невзвешенная- используется в случае, когда веса равны

б) взвешенная- спользуется, когда известны индивидуальные значения признака и общий объем явления (W_i =X_if)

3. средняя геометрическая (к=0) применяется при исчислении средних темпов динамики

4. средняя квадратическая (к=2). Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то применяют среднюю квадратическую. Пример: есть 3 квадратных земельных участка со сторонами 100,200,300 м. Таки образом их общая площадь составит: 100²+200²+300²=140 000 м² Найти среднюю величину сторон. Если (100+200+300)/3=200 м., но общая площадь участков при этом не сохранится: (200*200)*3=120 000 м². Применим формулу простой средней квадратической:

216 м²

Площадь: 216*216*3≈140 000 м²

Средняя квадратическая взвешенная:

Средняя квадратическая применяется при исчислении показателей вариации.

5. Средняя кубическая (к=3)

Правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

Структурные средние

Медиана (Ме) — это вариант, который находится а середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу наблюдений) части. В ранжированных рядах не сгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианта у этого номера.

Медиана в интервальных вариационных рядах рассчитывается по формуле:

где X _Me – нижняя граница медианного интервала;

h –величина медианного интервала;

S _Me-1 – кумулятивная частота предмедианного интервала;

f _Me – частота медианного интервала

Модой (Мо) вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Для вычисления моды в интервальном ряду сначала находится модальный интервал, имеющий наибольшую частоту (или наибольшую плотность распределения — отношение частоты интервала к его величине ni/hi — в интервальном ряду с неравными интервалами), а значение моды определяется линейной интерполяцией:

где Х _Mo – нижнее значение модального интервала;

h – величина интервала;

f_MО , f_MО-1 , f_MО+1 – частота (в интервальном ряду с равными интервалами) или плотность распределения (в интервальном ряду с неравными интервалами) модального, предмодального и послемодального интервалов.

Средняя, мода и медиана совместно используются при анализе ряда распределения по структуре (на симметрию).

Если Мо<Ме< , то данный ряд ассиметричен (правосторонняя ассиметрия).

Если Мо=Ме= , то ряд симметричен.

Вариацией называется изменяемость, колеблемость величины признака. Вариация проявляется в отклонениях от средних и зависит от множества факторов, влияющих на социально-экономическое явление

Вариация признака под воздействием все факторов называется общей вариацией. Вариация, порождаемая существенными факторами, называется систематической вариацией. Вариация, порождаемая случайными, периодическими факторами, называется случайной вариацией.

Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные.

Абсолютные показатели:

· размах вариации,

· среднее линейное отклонение,

· дисперсия,

· среднее квадратическое отклонение.

Относительные показатели:

· относительный размах вариации;

· относительное линейное отклонение;

· коэффициент вариации.